Il problema dei cappelli

Concentrati sulla prima risposta.

Anna vede due cappelli.

Chiediti: in quale situazione Anna avrebbe potuto conoscere immediatamente il colore del proprio cappello?

Se Anna avesse visto due cappelli neri, sapendo che esistono soltanto due cappelli neri in tutto, avrebbe concluso immediatamente che il proprio cappello doveva essere bianco.

Ma Anna risponde di non sapere.

Che cosa può quindi dedurre Bruno osservando il cappello di Carlo?

Il cappello di Carlo è bianco.

Vediamo perché.

Anna può vedere i cappelli di Bruno e Carlo.

Se li avesse visti entrambi neri, avrebbe saputo immediatamente che il proprio cappello era bianco, perché nel gioco esistono soltanto due cappelli neri.

Ma Anna risponde: «No, non so di che colore è il mio cappello.»

Da questa risposta Bruno può dedurre che Bruno e Carlo non indossano entrambi un cappello nero.

Ora Bruno vede il cappello di Carlo.

Supponiamo che Carlo indossi un cappello nero.

• Anna non ha visto due cappelli neri;
• Carlo ha un cappello nero;
• quindi il cappello di Bruno non può essere nero;
• di conseguenza il cappello di Bruno deve essere bianco.

In questa situazione Bruno potrebbe rispondere con certezza.

Ma Bruno dice: «No, non lo so.»

Questo significa che Bruno non vede un cappello nero sulla testa di Carlo.

Quindi Carlo deve necessariamente indossare un cappello bianco.

Questo problema non richiede calcoli. La sua struttura matematica è basata sulla logica deduttiva e, soprattutto, sulla conoscenza condivisa.

Ogni risposta non comunica soltanto un’informazione diretta. Comunica anche qualcosa su ciò che quella persona ha potuto o non ha potuto dedurre.

La risposta di Anna, «Non lo so», elimina una possibilità: Anna non sta osservando due cappelli neri.

La risposta di Bruno elimina un’altra possibilità.

Carlo combina quindi:

1. ciò che Anna non sapeva;
2. ciò che Bruno ha dedotto dalla risposta di Anna;
3. il fatto che Bruno, nonostante ciò, continua a non sapere.

Il gioco mostra una forma semplice di ciò che in logica viene chiamato ragionamento epistemico: non ragioniamo soltanto sui fatti, ma anche sulla conoscenza degli altri.

In simboli, non interessa soltanto sapere che una proposizione \(P\) è vera. Conta anche sapere che \(K_A(P)\), cioè «Anna sa che \(P\)», oppure persino \(K_B(K_A(P))\), ossia «Bruno sa che Anna sa che \(P\)».

Nei giochi di questo tipo, ogni dichiarazione pubblica modifica l’insieme delle possibilità compatibili con ciò che tutti sanno.

Supponiamo ora che siano disponibili:

• quattro cappelli bianchi;
• tre cappelli neri.

Le tre persone vengono disposte nello stesso modo.

Anna dice: «Non so il colore del mio cappello.»

Bruno dice: «Nemmeno io.»

Carlo può ancora determinare con certezza il colore del proprio cappello?

Prova a ricostruire tutte le possibilità. Questa volta il numero maggiore di cappelli neri cambia completamente la quantità di informazione contenuta nelle due risposte.

I problemi dei cappelli sono diventati esempi classici nello studio della logica della conoscenza.

Ne esistono moltissime varianti: con prigionieri, matematici, bambini sporchi, colori diversi oppure persone che possono vedere soltanto alcuni partecipanti.

La difficoltà non sta quasi mai nel colore dei cappelli. Sta nel comprendere una distinzione più sottile: ciò che una persona sa dipende anche da ciò che sa che gli altri sanno.

È lo stesso principio alla base di molti problemi di logica epistemica, teoria dei giochi e sistemi distribuiti.