L’infinito tra matematica e filosofia

STORIA DELLA MATEMATICA

L’infinito è una delle idee più vertiginose create dal pensiero umano. Lo incontriamo quando immaginiamo una retta che non termina mai, quando pensiamo alla successione dei numeri naturali, quando dividiamo un segmento in parti sempre più piccole o quando ci chiediamo se l’universo abbia un limite.

Eppure, per gran parte della storia, l’infinito non è stato considerato un vero oggetto matematico. Era piuttosto un concetto filosofico, talvolta persino metafisico: qualcosa verso cui si poteva procedere indefinitamente, ma che non si poteva mai raggiungere.

Solo alla fine dell’Ottocento, grazie soprattutto a Georg Cantor, l’infinito entrò definitivamente nella matematica come oggetto dotato di proprietà, regole e perfino differenti grandezze.

La storia dell’infinito è quindi anche la storia di un lento cambiamento di prospettiva: dal sospetto filosofico alla formalizzazione matematica.

Zenone e i primi paradossi dell’infinito

Uno dei primi grandi incontri tra matematica e infinito avviene nell’antica Grecia.

Nel V secolo a.C. il filosofo Zenone di Elea formulò una serie di celebri paradossi destinati a influenzare per oltre duemila anni il pensiero occidentale.

Il più noto è probabilmente quello di Achille e la tartaruga.

Achille, velocissimo, concede alla tartaruga un piccolo vantaggio. Per raggiungerla deve prima arrivare nel punto da cui la tartaruga è partita. Ma nel frattempo la tartaruga avrà percorso un altro tratto. Achille dovrà quindi raggiungere quel nuovo punto, mentre la tartaruga si sarà nuovamente spostata.

Il processo sembra continuare all’infinito.

Come può allora Achille raggiungere la tartaruga?

Il paradosso mette in luce una questione fondamentale: un intervallo finito può essere suddiviso in infiniti intervalli più piccoli.

Oggi sappiamo che la somma di infiniti termini può avere un valore finito. Per esempio:

\[\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\cdots = 1\]

Ma per i Greci questo rapporto tra finito e infinito era tutt’altro che evidente.

Aristotele: infinito potenziale e infinito attuale

Fu Aristotele a proporre una distinzione destinata ad avere una straordinaria influenza sulla filosofia e sulla matematica occidentale.

Secondo Aristotele esistono due modi di intendere l’infinito.

L’infinito potenziale è un processo che può continuare indefinitamente.

Possiamo, per esempio, continuare ad aggiungere uno alla successione \(1,2,3,4,\ldots\) senza mai arrivare a un ultimo numero.

Analogamente possiamo continuare a dividere un segmento in parti sempre più piccole.

Ma questo non significa, secondo Aristotele, che esista realmente una totalità composta da infiniti elementi.

L’infinito attuale, cioè l’infinito considerato come qualcosa di completo e già esistente, veniva invece guardato con sospetto.

Per quasi duemila anni la matematica occidentale rimase largamente fedele a questa impostazione.

L’infinito era accettabile come processo, molto meno come oggetto.

Galileo e il paradosso dei quadrati

Nel Seicento Galileo Galilei si imbatté in una proprietà sorprendente degli insiemi infiniti.

Consideriamo i numeri naturali: \(1,2,3,4,5,\ldots\) e i loro quadrati: \(1,4,9,16,25,\ldots\).

A prima vista sembra evidente che i quadrati siano molti meno dei numeri naturali: dopo tutto, non tutti i numeri sono quadrati perfetti.

Eppure possiamo associare a ogni numero naturale esattamente un quadrato: \(1\leftrightarrow1\), \(2\leftrightarrow4\), \(3\leftrightarrow9\), \(4\leftrightarrow16\), e così via.

Esiste quindi una corrispondenza uno a uno tra l’insieme dei numeri naturali e quello dei quadrati perfetti.

Una parte sembra avere tanti elementi quanti il tutto.

Per gli insiemi finiti questo è impossibile. Per quelli infiniti, invece, diventerà proprio una delle loro caratteristiche fondamentali.

Galileo comprese la profondità del problema, ma concluse che categorie come “maggiore”, “minore” e “uguale” non potevano essere applicate agli infiniti nello stesso modo in cui venivano applicate alle quantità finite.

Sarebbe stato Cantor, più di due secoli dopo, a trasformare quella stranezza in una teoria rigorosa.

Il calcolo infinitesimale

Nel XVII secolo l’infinito entrò nuovamente al centro della matematica con la nascita del calcolo infinitesimale, sviluppato indipendentemente da Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.

Per descrivere velocità istantanee, tangenti, aree e variazioni continue era necessario ragionare su quantità che diventavano arbitrariamente piccole.

Comparvero così gli infinitesimi: quantità più piccole di qualunque grandezza ordinaria, ma non semplicemente uguali a zero.

L’idea era straordinariamente efficace, ma i suoi fondamenti erano poco chiari.

Il problema sarebbe stato risolto nell’Ottocento attraverso il concetto di limite.

L’espressione \(\lim_{n\to\infty} a_n\) non richiede infatti che esista un numero chiamato “infinito” verso il quale \(n\) arriva materialmente. Significa piuttosto che possiamo rendere \(a_n\) arbitrariamente vicino a un certo valore scegliendo \(n\) sufficientemente grande.

Ancora una volta riemergeva, almeno in parte, l’idea aristotelica dell’infinito come processo. Ma proprio nello stesso secolo sarebbe avvenuta una svolta radicale.

Cantor: l’infinito diventa un oggetto matematico

Il protagonista di questa rivoluzione fu il matematico tedesco Georg Cantor.

Tra gli anni Settanta e Novanta dell’Ottocento Cantor sviluppò la teoria degli insiemi e mostrò che era possibile confrontare in modo rigoroso la grandezza di insiemi infiniti.

La sua idea fondamentale era semplice quanto potente.

Due insiemi hanno lo stesso numero di elementi se è possibile costruire tra essi una corrispondenza biunivoca: ogni elemento del primo insieme deve corrispondere a uno e un solo elemento del secondo, e viceversa.

È proprio ciò che avveniva nel paradosso di Galileo.

I numeri naturali \(1,2,3,4,\ldots\) e i numeri pari \(2,4,6,8,\ldots\) possono essere messi in corrispondenza mediante \(n\longleftrightarrow 2n\).

L’insieme dei numeri pari è quindi grande quanto l’insieme di tutti i numeri naturali.

Cantor chiamò numerabile un insieme che può essere messo in corrispondenza con i numeri naturali.

Anche i numeri razionali sono numerabili

Il risultato diventa ancora più sorprendente con i numeri razionali.

Tra due numeri interi esistono infatti infiniti numeri razionali.

Sembrerebbe quindi che i razionali siano molti più dei numeri naturali.

Cantor mostrò invece che anche l’insieme dei numeri razionali è numerabile.

È possibile infatti disporre tutte le frazioni in una griglia e percorrerle secondo un ordine diagonale, eliminando le ripetizioni.

In questo modo ogni numero razionale riceve prima o poi un numero naturale come indice.

Ancora una volta: \(|\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}|\).

L’infinito sembrava comportarsi in modo sempre più lontano dall’intuizione ordinaria. Ma la scoperta più sorprendente doveva ancora arrivare.

Esistono infiniti più grandi di altri

Cantor dimostrò che i numeri reali non possono essere messi in corrispondenza uno a uno con i numeri naturali.

In altre parole: \(|\mathbb{R}|>|\mathbb{N}|\).

Esistono dunque diverse grandezze dell’infinito.

La dimostrazione più famosa utilizza quello che oggi chiamiamo argomento diagonale di Cantor.

Supponiamo di poter elencare tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. Cantor costruisce allora un nuovo numero reale scegliendo la prima cifra diversa dalla prima cifra del primo numero, la seconda diversa dalla seconda cifra del secondo, la terza diversa dalla terza cifra del terzo, e così via.

Il numero così costruito differisce da ogni numero dell’elenco almeno in una cifra.

Quindi non era presente nell’elenco. Ma se l’elenco doveva contenere tutti i numeri reali, siamo arrivati a una contraddizione.

I numeri reali non sono dunque numerabili. L’infinito dei numeri reali è più grande dell’infinito dei numeri naturali.

Aleph: una nuova aritmetica dell’infinito

Cantor introdusse una nuova notazione per descrivere le cardinalità infinite.

La cardinalità dei numeri naturali viene indicata con \(\aleph_0\), che si legge aleph zero.

È il più piccolo infinito numerabile.

La cardinalità dei numeri reali viene invece chiamata cardinalità del continuo e viene spesso indicata con \(\mathfrak{c}\).

A questo punto nasce una domanda inevitabile: esiste una grandezza infinita intermedia tra \(\aleph_0\) e \(\mathfrak{c}\)?

Cantor pensava di no. Questa affermazione divenne nota come ipotesi del continuo.

L’ipotesi del continuo

L’ipotesi del continuo divenne uno dei problemi più importanti della matematica moderna.

Nel 1900 David Hilbert la collocò al primo posto nella sua celebre lista di 23 problemi presentata al Congresso internazionale dei matematici di Parigi.

La storia ebbe un esito sorprendente.

Nel 1940 Kurt Gödel dimostrò che l’ipotesi del continuo non può essere confutata partendo dagli assiomi standard della teoria degli insiemi, purché questi siano coerenti.

Nel 1963 Paul Cohen dimostrò invece che non può neppure essere dimostrata a partire dagli stessi assiomi.

L’ipotesi del continuo è quindi indipendente dagli assiomi usuali della teoria degli insiemi.

L’hotel infinito di Hilbert

Uno dei modi più efficaci per comprendere la stranezza dell’infinito numerabile è il celebre Hotel di Hilbert.

Immaginiamo un hotel con infinite camere numerate \(1,2,3,4,\ldots\) e supponiamo che siano tutte occupate.

In un normale albergo non ci sarebbe posto per un nuovo ospite.

In quello di Hilbert, invece, basta chiedere all’ospite della camera 1 di trasferirsi nella 2, a quello della 2 di trasferirsi nella 3, e in generale all’ospite della camera \(n\) di trasferirsi nella camera \(n+1\).

La camera 1 diventa libera.

Se arrivano infiniti nuovi ospiti, basta trasferire ogni vecchio cliente dalla camera \(n\) alla camera \(2n\). Tutte le camere dispari restano libere.

L’hotel era pieno, ma può comunque accogliere un numero infinito di nuovi ospiti.

È una situazione assurda soltanto se tentiamo di applicare all’infinito l’intuizione sviluppata nel mondo delle quantità finite.

Una rivoluzione anche filosofica

Cantor non introdusse soltanto una nuova tecnica matematica. Modificò il significato stesso dell’infinito.

Per Aristotele l’infinito era essenzialmente qualcosa che non poteva essere completato. Con Cantor l’infinito diventa invece attuale: possiamo parlare dell’insieme di tutti i numeri naturali come di un oggetto matematico compiuto.

Possiamo confrontare infiniti. Possiamo costruire gerarchie di infiniti. Possiamo persino fare aritmetica con essi.

Cantor era perfettamente consapevole della portata filosofica delle proprie idee e intrattenne un intenso dialogo con filosofi e teologi.

Le sue concezioni furono anche molto contestate.

Il matematico Leopold Kronecker, sostenitore di una concezione fortemente costruttiva della matematica, guardava con grande sospetto alla teoria cantoriana.

«Dio creò i numeri interi; tutto il resto è opera dell’uomo.»

L’infinito di Cantor sembrava spingere la matematica in un territorio completamente nuovo.

I paradossi della teoria degli insiemi

La libertà con cui i primi matematici costruivano insiemi portò però rapidamente a difficoltà profonde.

Il caso più famoso è il paradosso di Russell.

Consideriamo l’insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi.

Questo insieme contiene sé stesso?

Se si contiene, allora per definizione non dovrebbe contenersi. Se non si contiene, allora soddisfa la condizione necessaria per contenersi.

Il risultato è una contraddizione.

Problemi di questo genere mostrarono che non era sufficiente parlare liberamente di “insiemi di qualsiasi cosa”. Occorreva costruire una teoria assiomatica rigorosa.

Nacquero così sistemi come la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, successivamente completata dall’assioma della scelta.

Oggi la sigla \(\mathrm{ZFC}\) indica uno dei principali fondamenti formali della matematica moderna.

L’infinito oggi

Oggi l’infinito compare praticamente in ogni area della matematica.

Nell’analisi studiamo successioni, serie e limiti. Nella geometria consideriamo spazi non limitati. Nella teoria degli insiemi confrontiamo cardinalità infinite. In topologia e analisi funzionale lavoriamo con spazi di dimensione infinita. In logica matematica studiamo strutture infinite e sistemi formali capaci — o incapaci — di descriverle.

Ma l’infinito continua anche a porre questioni filosofiche.

Gli oggetti matematici esistono indipendentemente da noi? L’insieme infinito dei numeri naturali esiste realmente oppure è soltanto una costruzione del nostro linguaggio? Possiamo considerare una totalità infinita come qualcosa di compiuto?

Sono domande alle quali scuole filosofiche diverse danno risposte differenti.

Un’idea che ha cambiato la matematica

La storia dell’infinito mostra con particolare chiarezza come la matematica non sia soltanto calcolo. È anche trasformazione dei concetti.

Per più di duemila anni l’infinito è rimasto ai margini del pensiero matematico: necessario per ragionare, ma troppo paradossale per essere trattato come un oggetto vero e proprio.

Cantor fece qualcosa di radicale. Invece di evitare i paradossi dell’infinito, decise di studiarli.

Scoprì così che l’infinito non è uno solo. Esistono infiniti numerabili e infiniti non numerabili, e oltre questi altri infiniti ancora più grandi.

Una gerarchia che non termina mai.

Forse è proprio questa la lezione più affascinante lasciata da Cantor: quando la matematica cerca di raggiungere l’infinito, scopre che anche l’infinito ha sempre qualcosa oltre di sé.

DALLA MIA LIBRERIA

Alcuni libri della mia biblioteca per continuare il viaggio nell’infinito.

Amir D. Aczel – Il mistero dell’alef. La ricerca dell’infinito tra matematica e misticismo, Il Saggiatore, 2015. Parte proprio dall’idea di infinito, attraversa Galileo e arriva a Cantor, mettendo in evidenza anche il rapporto fra matematica, filosofia, religione e misticismo.

Gabriele Lolli – Dagli insiemi ai numeri. Storia e assiomatica della teoria degli insiemi, Bollati Boringhieri, 1994. La nascita della teoria degli insiemi, fondamenti e teoria assiomatica di Zermelo-Fraenkel.

Steven Strogatz – Il potere dell’infinito. L’universo raccontato dal calcolo infinitesimale, Codice, 2021. Racconta una storia che comincia nell’antica Grecia, passa per Newton e Leibniz e arriva alla matematica moderna.

Ernest Nagel, James R. Newman – La prova di Gödel, Bollati Boringhieri, 1992. I sistemi assiomatici e i limiti della dimostrazione matematica.

Nicholas Falletta – Il libro dei paradossi, CDE, 1989. È meno specifico sull’infinito, ma si presta bene come lettura complementare per Zenone, Russell e più in generale per il ruolo dei paradossi nella storia della matematica.