Un ago cade su un foglio a righe. Toccherà una linea o si fermerà fra due righe? La risposta, sorprendentemente, contiene il numero π.
Se un oggetto rettilineo viene lasciato cadere a caso su un insieme di linee parallele, ci interessa un evento apparentemente banalissimo: l’ago attraversa almeno una linea? Non c’è alcun cerchio nella scena, e tuttavia il calcolo porta a pi greco. Il motivo si nasconde nel modo in cui una direzione casuale esplora tutti gli angoli.
Questo problema classico è associato a Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon, ed è uno dei punti di partenza della probabilità geometrica. Possiamo ricostruirne il risultato con un po’ di trigonometria e poi sperimentarlo con stuzzicadenti smussati e righe disegnate su un foglio.
Un esperimento fatto di linee, distanze e angoli
Disegniamo sul piano infinite linee rette parallele, tutte distanti d > 0 dalle vicine. Lasciamo cadere un segmento rettilineo, l’«ago», di lunghezza ℓ, con 0 < ℓ ≤ d. Il caso ℓ = d è particolarmente comodo per un esperimento domestico.
Ci occorrono due ipotesi esplicite. L’orientamento dell’ago è uniforme rispetto all’angolo modulo π; inoltre la posizione del suo punto medio, misurata rispetto alle linee, è uniforme su una fascia di ampiezza d ed è indipendente dall’orientamento. Queste sono ipotesi matematiche di casualità ideale: un lancio reale può non rispettarle.
L’ago, essendo non più lungo della distanza tra le linee, può intersecare al massimo una di esse, a parte casi degeneri di probabilità nulla. Chiediamo la probabilità di almeno un’intersezione.
Quale parte dell’ago conta davvero?
Quando l’ago è quasi parallelo alle righe, attraversarne una è difficile. Quando è quasi perpendicolare, diventa più facile. Non conta l’intera lunghezza ℓ, ma la sua proiezione nella direzione perpendicolare alle righe.
Chiamiamo θ l’angolo compreso fra l’ago e una linea parallela, con θ fra 0 e π. La proiezione perpendicolare ha lunghezza ℓ |sin θ|. Se la distanza del centro dell’ago dalla linea più vicina è x, allora l’ago la tocca o attraversa quando x ≤ (ℓ/2) |sin θ|.
Per simmetria, la distanza x del centro dalla linea più vicina è uniforme fra 0 e d/2. Per un angolo θ fissato, la frazione delle posizioni favorevoli è dunque (ℓ |sin θ| / 2)/(d/2) = ℓ |sin θ|/d.
Probabilità condizionata all’angolo: P(intersezione | θ) = (ℓ/d) |sin θ|.
Probabilità totale: P(intersezione) = (1/π) ∫0π (ℓ/d) sin θ dθ = 2ℓ/(πd).
Valido quando 0 < ℓ ≤ d, con orientamento uniforme e posizione uniforme e indipendente.
Perché compare proprio π?
Il fattore π non arriva dalla lunghezza dell’ago né dalla distanza fra le linee: entra perché la direzione è distribuita uniformemente su un intervallo angolare di ampiezza π. La media di sin θ su quell’intervallo vale 2/π. La geometria delle direzioni determina quindi un numero che non era evidente guardando soltanto le linee.
Quando ℓ = d, la formula si semplifica in P = 2/π ≈ 0,6366. Vale a dire che, in un lungo esperimento ideale con l’ago lungo quanto la distanza fra le righe, poco meno di due terzi dei lanci producono un’intersezione.
Per un ago più corto, ad esempio ℓ = d/2, la probabilità si dimezza: P = 1/π ≈ 0,3183. Non è lecito applicare la stessa formula oltre il regime ℓ ≤ d: con un ago più lungo possono essere attraversate più righe e cambiano i casi geometrici.
Un numero irrazionale ricavato da lanci casuali
Supponiamo di eseguire N lanci indipendenti nelle condizioni ideali e di osservare C intersezioni. La frequenza C/N è un’approssimazione della probabilità P. Inserendola nella formula otteniamo la stima π̂ = 2ℓN/(dC), purché C sia maggiore di zero.
Se ℓ = d, basta la relazione π̂ = 2N/C. Per esempio, in un esperimento ipotetico con N = 1.000 e C = 640 intersezioni, risulterebbe π̂ = 2.000/640 = 3,125. Non sono dati osservati: sono numeri scelti soltanto per mostrare come si usa la formula.
| Lunghezza dell’ago | Probabilità teorica | Interpretazione |
|---|---|---|
| ℓ = d/2 | 1/π ≈ 31,83% | Circa una intersezione su tre |
| ℓ = d | 2/π ≈ 63,66% | Poco meno di due su tre |
| ℓ > d | Formula breve non applicabile | Servono più casi geometrici |
Perché mille lanci non bastano a trovare molte cifre
La frequenza delle intersezioni oscilla. Se gli esperimenti sono indipendenti, C ha distribuzione binomiale con parametri N e p = 2ℓ/(πd), quindi la deviazione standard della frequenza è √[p(1−p)/N]. L’errore statistico tipico diminuisce come 1/√N.
Per ridurre l’errore di un fattore dieci servono quindi, in ordine di grandezza, cento volte più lanci. Inoltre, passando dalla frequenza alla stima di π attraverso un reciproco, le oscillazioni non diventano simmetriche. Un valore molto vicino a 3,14159 ottenuto dopo pochi lanci sarebbe soprattutto fortuna, non evidenza di alta precisione.
La lezione generale è che il caso può stimare grandezze deterministiche, ma ogni stima porta con sé incertezza. L’esperimento di Buffon anticipa, nello spirito, molti metodi di simulazione Monte Carlo, senza essere una via efficiente per calcolare π con numerose cifre.
Prova anche tu
Prepara un foglio con righe parallele distanti 5 centimetri. Usa piccoli bastoncini smussati lunghi anch’essi 5 centimetri, non aghi appuntiti. Lancia ciascun bastoncino da un’altezza modesta su un foglio ampio; controlla che non sia trascinato o orientato deliberatamente lungo una direzione preferita.
Annota ogni lancio come 1 se il segmento tocca o interseca una riga, 0 altrimenti. Conta N e C, poi calcola 2N/C quando C > 0. Ripeti con 100, 500 e 1.000 lanci, o usa una simulazione informatica con angoli e posizioni uniformi per confrontare la stabilità della frequenza.
Domanda per chi vuole approfondire: se raddoppiamo sia ℓ sia d, la probabilità cambia? No: la formula dipende soltanto dal rapporto ℓ/d. È un esempio di invarianza per cambiamento di scala.
Quando l’esperimento può ingannare
Una posizione del centro non uniforme o un orientamento privilegiato invalida la formula: basta pensare a un lancio che lasci quasi tutti gli aghi paralleli alle righe. Anche attrito, rimbalzi, larghezza del bastoncino e righe troppo spesse introducono deviazioni dal modello di segmento ideale.
Occorre anche stabilire in anticipo quanti lanci eseguire. Fermarsi appena la stima sembra coincidere con π favorisce risultati illusori. Un buon esperimento non seleziona soltanto i dati che producono il numero desiderato.
L’idea da portarsi via
Un numero associato al cerchio compare in un esperimento senza cerchi perché stiamo mediando su tutte le direzioni possibili. La matematica del caso non cancella la geometria: la rende misurabile.
Questo articolo fa parte della serie Scoprire la matematica, dedicata alle idee matematiche che si possono osservare e sperimentare.
DALLA MIA BIBLIOTECA
Nel catalogo personale è presente La matematica dell’incertezza, un itinerario divulgativo tra probabilità e decisioni. È un complemento naturale per capire perché una frequenza osservata non coincide necessariamente con una probabilità teorica.
Per un approfondimento più formale si può consultare Concetti fondamentali di teoria della probabilità di Andrej N. Kolmogorov, presente nella biblioteca del sito: il punto di partenza assiomatico per dare significato rigoroso a eventi, indipendenza e probabilità.
Fonti e approfondimenti
- Wolfram MathWorld, Buffon’s Needle Problem: impostazione geometrica e casi in funzione del rapporto tra lunghezza e distanza.
- Random Services, Buffon’s Problems: derivazione e discussione della stima di π basata sul numero delle intersezioni.
- Virtual Laboratories in Probability and Statistics, The Estimate of Pi: simulazione e significato statistico della stima.