I 23 problemi di Hilbert: le domande che hanno guidato la matematica del Novecento

STORIA DELLA MATEMATICA

Nel 1900 David Hilbert presentò una lista di 23 problemi destinati a influenzare profondamente la matematica del XX secolo. Alcuni furono risolti in pochi anni, altri richiesero decenni, altri ancora si rivelarono più complessi del previsto: in certi casi la risposta fu negativa, in altri si scoprì che la domanda era indipendente dagli assiomi usuali, e alcuni problemi restano tuttora aperti.

Questa lista non è soltanto un catalogo di difficoltà tecniche. È una mappa delle grandi direzioni della matematica moderna: logica, teoria degli insiemi, teoria dei numeri, geometria, analisi, equazioni differenziali e fondamenti della fisica.

Parigi 1900: una lista per il nuovo secolo

Hilbert presentò i suoi problemi al Congresso internazionale dei matematici di Parigi. Non li espose tutti oralmente: nella conferenza ne discusse soltanto una parte, mentre la lista completa comparve nella versione pubblicata.

Il suo obiettivo non era prevedere il futuro della matematica, ma indicare questioni sufficientemente profonde da guidare la ricerca. In molti casi ci riuscì in modo straordinario.

1. L’ipotesi del continuo — risposta indipendente dagli assiomi standard

Hilbert riprese una domanda di Cantor: esiste una cardinalità infinita intermedia tra quella dei numeri naturali e quella dei numeri reali?

Kurt Gödel, nel 1940, dimostrò che l’ipotesi del continuo non può essere confutata dagli assiomi usuali della teoria degli insiemi, se questi sono coerenti. Paul Cohen, nel 1963, dimostrò il risultato complementare: non può neppure essere dimostrata a partire dagli stessi assiomi.

La risposta è quindi più profonda di un semplice sì o no: l’ipotesi del continuo è indipendente da ZFC.

2. La coerenza dell’aritmetica — risposta parziale e sorprendente

Hilbert voleva una dimostrazione della coerenza dell’aritmetica.

Nel 1931 Gödel, con il secondo teorema di incompletezza, mostrò che un sistema formale sufficientemente potente e coerente non può dimostrare la propria coerenza con i soli propri mezzi. Nel 1936 Gerhard Gentzen diede una dimostrazione di coerenza dell’aritmetica usando strumenti più forti, in particolare l’induzione transfinita fino a ε₀.

La domanda di Hilbert ricevette quindi una risposta, ma non nel senso originariamente sperato.

3. L’equidecomponibilità dei poliedri — risolto

Hilbert chiese se due poliedri dello stesso volume potessero sempre essere tagliati in un numero finito di pezzi e ricomposti l’uno nell’altro.

La risposta fu negativa. Max Dehn, già nel 1900, costruì un controesempio introducendo quello che oggi chiamiamo invariante di Dehn.

4. La retta come distanza più breve — problema molto ampio

Hilbert chiedeva di caratterizzare geometrie nelle quali la retta resta il percorso più breve tra due punti.

Il problema generò molta ricerca nella geometria, ma la formulazione originale è così ampia che non esiste una singola soluzione universalmente riconosciuta come definitiva.

5. I gruppi continui di trasformazioni — sostanzialmente risolto

Hilbert voleva sapere se la differenziabilità nei gruppi di Lie dovesse essere assunta oppure potesse essere dedotta dalla sola struttura topologica.

Negli anni Cinquanta Andrew Gleason, Deane Montgomery e Leo Zippin mostrarono, nella formulazione classica, che la differenziabilità segue dalle altre proprietà.

6. Assiomatizzare la fisica — ancora aperto come programma

Hilbert voleva dare alla fisica una struttura assiomatica paragonabile a quella della geometria.

Molte parti della meccanica, della probabilità e della fisica matematica sono state formalizzate, ma la fisica continua a produrre nuove teorie. Per questo il sesto problema è ancora vivo come programma di ricerca.

7. La trascendenza di a^b — risolto

Hilbert congetturò che, per a algebrico diverso da 0 e 1 e b algebrico irrazionale, il numero a^b fosse trascendente.

Il risultato fu dimostrato nel 1934 indipendentemente da Aleksandr Gelfond e Theodor Schneider. Oggi è noto come teorema di Gelfond-Schneider.

8. La distribuzione dei numeri primi — ancora aperto

Questo problema comprende diverse questioni sui numeri primi. La più famosa è la congettura di Riemann.

A settembre 2026 resta irrisolta ed è uno dei problemi più importanti della matematica contemporanea.

9. La legge di reciprocità più generale — in gran parte sviluppato

Hilbert chiedeva una generalizzazione della reciprocità quadratica a campi numerici più generali.

Il problema contribuì in modo decisivo alla nascita della teoria dei campi di classe e della moderna teoria dei numeri algebrica. Molto è stato risolto, ma la sua formulazione generale ha prodotto sviluppi che vanno oltre una singola risposta definitiva.

10. Un algoritmo per le equazioni diofantee — risolto negativamente

Hilbert chiedeva un algoritmo universale capace di stabilire se una qualunque equazione diofantea possieda soluzioni intere.

Nel 1970 Yuri Matiyasevich, completando il lavoro di Martin Davis, Hilary Putnam e Julia Robinson, dimostrò che un simile algoritmo non può esistere.

11. Le forme quadratiche — sostanzialmente risolto

Il problema chiedeva una teoria generale delle forme quadratiche su campi numerici.

Un contributo decisivo venne da Helmut Hasse negli anni Venti, con il principio locale-globale oggi associato al suo nome.

12. L’estensione del teorema di Kronecker — ancora aperto in forma generale

Hilbert cercava una descrizione delle estensioni abeliane per campi numerici più generali.

Il problema ha generato una parte enorme della moderna teoria dei numeri, ma la visione generale auspicata da Hilbert non è ancora stata pienamente raggiunta.

13. Le equazioni di settimo grado — risposta parziale

Hilbert pensava che la soluzione generale di un’equazione di settimo grado richiedesse funzioni di almeno tre variabili.

Nel 1957 Andrey Kolmogorov e Vladimir Arnold mostrarono, nel contesto delle funzioni continue, che questa aspettativa era falsa. Interpretazioni più strettamente algebriche restano però più delicate.

14. La finitezza degli invarianti — risolto negativamente

Hilbert chiedeva se determinati anelli di invarianti fossero sempre finitamente generati.

Nel 1959 Masayoshi Nagata costruì un controesempio. Anche in questo caso la soluzione fu mostrare che l’affermazione sperata da Hilbert è falsa.

15. Rendere rigoroso il calcolo di Schubert — sostanzialmente risolto

Hilbert chiedeva di dare basi rigorose al calcolo enumerativo sviluppato da Hermann Schubert.

La geometria algebrica moderna, in particolare la teoria delle intersezioni e la coomologia, ha fornito gli strumenti concettuali necessari. Non esiste però una singola data universalmente accettata come momento della soluzione definitiva.

16. La topologia delle curve algebriche e i cicli limite — ancora aperto

Il problema contiene due grandi questioni: la disposizione delle componenti delle curve algebriche reali e il numero e la disposizione dei cicli limite nei sistemi dinamici piani.

Numerosi risultati parziali sono stati ottenuti, ma il problema generale è ancora aperto.

17. Funzioni positive come somme di quadrati — risolto

Hilbert chiedeva se ogni funzione razionale reale non negativa potesse essere rappresentata come somma di quadrati di funzioni razionali.

Emil Artin diede una risposta positiva nel 1927.

18. Tassellazioni e impacchettamento delle sfere — risolto nelle sue componenti principali

Questo problema conteneva più questioni.

Ludwig Bieberbach risolse nel 1910 una parte relativa ai gruppi cristallografici. Karl Reinhardt risolse nel 1928 una questione sulle tassellazioni. La parte più famosa riguarda la congettura di Keplero sull’impacchettamento delle sfere: Thomas Hales ne diede una dimostrazione nel 1998, successivamente verificata formalmente con strumenti computer-assistiti.

19. Regolarità delle soluzioni del calcolo delle variazioni — risolto

Hilbert chiedeva se le soluzioni di determinati problemi variazionali fossero necessariamente regolari.

La risposta positiva arrivò nel 1957 grazie indipendentemente a Ennio De Giorgi e John Nash. È uno dei risultati più importanti dell’analisi del Novecento e rappresenta anche un contributo italiano di primissimo piano.

20. Esistenza delle soluzioni nei problemi variazionali — ampiamente sviluppato

Il problema riguarda l’esistenza di soluzioni per ampie classi di problemi del calcolo delle variazioni.

Il XX secolo ha prodotto una teoria vastissima, attraverso metodi diretti e strumenti di analisi funzionale. Più che un singolo teorema, la sua soluzione è il risultato dello sviluppo di un intero settore matematico.

21. Il problema di Riemann-Hilbert — risposta negativa nella formulazione generale

Per decenni si pensò che Josip Plemelj avesse risolto il problema nel 1908.

Tra il 1989 e il 1990, però, Andrei Bolibrukh trovò controesempi alla formulazione generale. È una storia particolarmente interessante perché mostra che persino una soluzione accettata per molti decenni può essere rimessa in discussione.

22. Il problema dell’uniformizzazione — risolto

La parte classica venne risolta quasi immediatamente.

Nel 1907, indipendentemente, Henri Poincaré e Paul Koebe dimostrarono il teorema di uniformizzazione per le superfici di Riemann.

23. Sviluppare ulteriormente il calcolo delle variazioni — un programma di ricerca

Questo ultimo punto è quasi un programma più che un problema preciso.

Hilbert chiedeva di sviluppare ulteriormente i metodi del calcolo delle variazioni. È esattamente ciò che la matematica del Novecento ha fatto, e continua a fare.

Non basta contare quanti sono stati risolti

La grandezza della lista di Hilbert non sta soltanto nel numero dei problemi risolti. Sta soprattutto nel fatto che alcune delle risposte hanno cambiato il significato stesso della parola “soluzione”.

Gödel dimostrò che esistono limiti alla dimostrazione; Matiyasevich che certi algoritmi non possono esistere; Cohen che una domanda può essere indipendente dagli assiomi scelti. In altri casi, un problema ha dato origine a un’intera disciplina matematica.

È probabilmente questo il motivo per cui, oltre un secolo dopo il Congresso di Parigi, i 23 problemi di Hilbert continuano a essere studiati, reinterpretati e usati come punto di riferimento per comprendere l’evoluzione della matematica moderna.

DALLA MIA BIBLIOTECA

Alcuni libri della mia biblioteca per approfondire le idee, i problemi e i matematici incontrati in questo articolo.

Claudio Bartocci, Piergiorgio Odifreddi – La matematica: Problemi e teoremi, Einaudi, 2008. Affronta grandi problemi e teoremi della matematica moderna, comprese equazioni diofantee, geometria algebrica, congetture e problemi aperti.

John Derbyshire – L’ossessione dei numeri primi. Bernhard Riemann e il principale problema irrisolto della matematica, Bollati Boringhieri, 2006. È il complemento ideale al problema n. 8, perché ricostruisce la nascita dell’ipotesi di Riemann e ne spiega il significato matematico e storico.

Ernest Nagel, James R. Newman – La prova di Gödel, Bollati Boringhieri, 1992. Collegato direttamente ai problemi 1 e 2, consente di approfondire i teoremi di incompletezza e il colpo inferto al programma fondazionale di Hilbert.

Gabriele Lolli – Dagli insiemi ai numeri. Storia e assiomatica della teoria degli insiemi, Bollati Boringhieri, 1994. Molto adatto per il problema n. 1, l’ipotesi del continuo, e più in generale per comprendere il contesto assiomatico di Zermelo-Fraenkel e i fondamenti della matematica.

Piergiorgio Odifreddi – Il diavolo in cattedra. La logica da Aristotele a Gödel, Einaudi, 2004. È meno specifico sui 23 problemi, ma molto utile per raccontare il percorso storico e concettuale che conduce a Gödel e ai limiti della formalizzazione matematica.