Quando la matematica diventa un gioco: da Gardner alle Olimpiadi

Ci sono libri di matematica che si leggono dall’inizio alla fine, seguendo definizioni, teoremi e dimostrazioni. E poi ce ne sono altri che si aprono quasi per caso, magari a metà, e dopo poche righe ci si ritrova con una matita in mano, un foglio pieno di tentativi e una domanda che non vuole più uscire dalla testa.

I libri di giochi matematici appartengono a questa seconda famiglia. Non chiedono soltanto di capire: chiedono di provare. Mettono il lettore davanti a un problema che sembra semplice, lo lasciano sbagliare, lo costringono a cambiare punto di vista e, quando finalmente la soluzione appare, regalano quella sensazione particolare che è una delle ragioni per cui amo la matematica: vedere improvvisamente qualcosa che fino a un momento prima era invisibile.

Nella mia biblioteca questo territorio occupa uno spazio importante. Ci sono i classici della matematica ricreativa, Martin Gardner soprattutto, ma anche raccolte di enigmi provenienti da tradizioni diverse. Poi arrivano i libri che insegnano a risolvere problemi, quelli delle Olimpiadi e delle competizioni, fino alle raccolte universitarie. Il percorso cambia livello, ma non cambia il piacere della sfida.

Il problema prima della teoria

Un buon gioco matematico ha spesso una caratteristica sorprendente: si può raccontare in poche righe. Nove punti da collegare, cento porte da aprire e chiudere, tre persone con un cappello in testa, una scacchiera, alcune monete, un ponte da attraversare. Non serve quasi mai un apparato tecnico importante per capire la domanda.

La difficoltà arriva dopo. Il problema sembra familiare e proprio per questo ci inganna. Applichiamo automaticamente un vincolo che nessuno ci ha imposto, cerchiamo una regolarità dove non c’è, oppure continuiamo a percorrere la stessa strada perché è quella che ci sembra più naturale.

È qui che il gioco smette di essere un semplice passatempo. Cercare la soluzione significa formulare congetture, provare casi particolari, rappresentare il problema in un altro modo, cercare invarianti, accorgersi che una strategia non funziona e ricominciare. In piccolo, è già il mestiere del matematico.

Il problema è l’esca. Dietro c’è quasi sempre un’idea più generale.

Da Mosca al resto del mondo

Accanto a Gardner, un altro libro affascinante della mia biblioteca è Boris Kordemsky, Gli enigmi di Mosca. È una grande raccolta di problemi nata nella tradizione sovietica e arrivata poi a generazioni di lettori in molti paesi.

Qui si capisce bene che il gioco matematico non appartiene a una sola scuola o a un solo periodo storico. Alcuni problemi sembrano piccole storie, altri esercizi di logica, altri ancora richiedono geometria, aritmetica o un’intuizione combinatoria. Ma quasi tutti hanno la stessa struttura narrativa: una situazione concreta, una domanda precisa e una soluzione che costringe a vedere il problema da un’angolazione nuova.

Un buon enigma viaggia bene. Cambiano la lingua, l’epoca e il contesto culturale, ma rimane riconoscibile il piacere di essere messi alla prova.

Gli enigmi hanno anche una storia

Un altro libro che allarga molto lo sguardo è Alex Bellos, Enigmi. I migliori rompicapi logici e matematici di tutti i tempi. Bellos non tratta i problemi soltanto come esercizi da risolvere: li segue attraverso le epoche e le culture.

Ed è un passaggio importante. Gli enigmi matematici sono anche piccoli documenti storici. Raccontano come si insegnava a ragionare, quali idee erano considerate sorprendenti, quali oggetti facevano parte della vita quotidiana. Un problema può arrivare dall’Europa medievale, dal Giappone, dall’Inghilterra vittoriana o dal mondo contemporaneo, e in ogni caso porta con sé qualcosa del luogo e del tempo in cui è nato.

Una zona di confine: problemi elementari, idee profonde

Nella mia biblioteca ci sono diversi libri che abitano una zona intermedia molto interessante: non sono semplici raccolte di enigmi, ma nemmeno manuali universitari tradizionali.

Hugo Steinhaus, Cento problemi di matematica elementare, parte da quesiti formulati con strumenti accessibili ma capaci di richiedere idee non immediate. A. M. Yaglom, Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, lavora nello stesso spirito: problemi difficili, ma affrontabili senza un arsenale tecnico avanzato.

Oleg A. Ivanov, Facile come π greco, compie un’operazione ancora diversa: usa problemi elementari e divertenti come trampolino verso concetti più alti. Il problema non è la fine del percorso, ma l’inizio.

E poi c’è I problemi di matematica della Scuola Normale Superiore di Pisa, di Franco Conti (mai troppo compianto) e A. Profeti. Qui la sfida ha già una funzione selettiva: sono problemi d’ammissione, costruiti per capire non tanto quante formule uno studente conosca, ma come sappia ragionare davanti a qualcosa che non ha già visto.

Il problem solving comincia come gioco, diventa metodo e poi diventa criterio di maturità matematica.

Quando il gioco diventa gara

A un certo punto, sugli scaffali, i libri di enigmi cominciano a confondersi con quelli delle competizioni matematiche. Il passaggio è più naturale di quanto sembri. Nelle Olimpiadi la domanda è ancora spesso elementare da formulare, ma la soluzione richiede maggiore disciplina: non basta intuire, bisogna dimostrare.

In La matematica delle Olimpiadi di Giovanni Paolini, per esempio, i problemi diventano un percorso attraverso alcune delle tecniche fondamentali del problem solving: induzione, aritmetica modulare, combinatoria, geometria euclidea. La teoria non viene prima come una parete da scalare; nasce perché serve ad affrontare una classe di problemi.

Nella stessa zona della mia biblioteca c’è anche La matematica del club olimpico Kangourou di Marc Bachmakov. Il mondo delle gare ha una virtù particolare: restituisce alla matematica un elemento che nella didattica ordinaria rischia di perdersi, quello della scoperta. Non si tratta di applicare una formula appena spiegata dall’insegnante. Prima bisogna capire quale idea potrebbe funzionare.

Mi ricordo ancora quando ho partecipato alla finale italiana a Cesenatico nel 1990. Ma sulle Olimpiadi di matematiche scriverò prossimamente un articolo incentrato sui 9 poster che hanno accompagnato la fase finale dal 1991 al 2004, ideati tutti da Franco Conti, tranne l’ultimo uscito postumo in suo onore.

Terence Tao: imparare a cercare una soluzione

Tra i libri dedicati al problem solving, uno dei più significativi è Terence Tao, Risolvere problemi matematici. Il mio punto di vista. È interessante anche per la storia personale dell’autore: prima di diventare uno dei matematici più importanti della sua generazione, Tao fu un prodigioso concorrente alle Olimpiadi Matematiche Internazionali, oggi un estimatore di quanto l’IA può aiutare nel campo della ricerca matematica.

Ma la cosa più bella del libro non è il talento eccezionale di chi lo ha scritto. È l’attenzione al processo. Davanti a un problema non conosciamo ancora la strada. Possiamo provare esempi semplici, cercare analogie, modificare la domanda, lavorare a ritroso, introdurre una notazione più efficace, riconoscere un’invariante. E possiamo sbagliare.

Questa è forse una delle lezioni più importanti della matematica dei problemi: l’errore non è una deviazione dal percorso. È parte del percorso.

Dal problema olimpico alla matematica universitaria

Il viaggio può andare ancora oltre. Răzvan Gelca e Titu Andreescu, Putnam and Beyond, è un libro molto più impegnativo: una grande raccolta di problemi che usa lo spirito delle competizioni universitarie per attraversare algebra, analisi, teoria dei numeri, combinatoria, probabilità e geometria.

Il titolo dice già molto: “Putnam e oltre”. La competizione non è il punto d’arrivo. Il problem solving diventa un ponte fra la matematica scolastica, quella universitaria e, in prospettiva, il modo di pensare della ricerca.

È una continuità che mi piace molto: Gardner, un rompicapo di poche righe, Pólya e il metodo, un problema olimpico, un esercizio del Putnam, una domanda di ricerca. Naturalmente cambiano enormemente difficoltà e strumenti, ma rimane una stessa tensione: c’è qualcosa che non sappiamo ancora e dobbiamo trovare un modo per arrivarci.

Non sono raccolte di risposte. Sono raccolte di domande ben scelte.