Le quattro carte: quali devi davvero girare?

Una carta è utile al controllo se sul suo retro potrebbe nascondersi una violazione.

Non cercare soltanto un esempio che funziona. Quale coppia, formata da una lettera e un numero, renderebbe falsa la frase?

La regola impone qualcosa alle vocali. Non dice che ogni numero pari debba avere una vocale sul retro.

Immagina ora una carta con un numero dispari. Quale tipo di lettera dovrebbe essere nascosto perché ci fosse un problema?

Bisogna girare A e 7. Vediamo separatamente tutte e quattro le carte:

1. A va girata. È una vocale. Se dietro troviamo un dispari, per esempio 3, la regola è falsa; se troviamo un pari, questa carta la rispetta.
2. D non serve. È una consonante. Il numero sul retro può essere pari oppure dispari: nessuna delle due possibilità viola una regola che riguarda le vocali.
3. 4 non serve. Se dietro c’è una vocale, la coppia vocale–pari va bene; se c’è una consonante, la regola non impone nulla a quella carta. Entrambi i casi sono ammessi.
4. 7 va girata. È dispari. Se dietro c’è una vocale, abbiamo trovato una violazione; se c’è una consonante, questa carta non contraddice la regola.

La scelta è sufficiente: dopo aver controllato A e 7, nessuna violazione può restare nascosta nelle altre due carte. È anche minima: omettendo A potremmo non vedere un dispari sul retro; omettendo 7 potremmo non vedere una vocale. Le facce delle altre carte possono restare identiche nei due casi, quindi non compensano il controllo mancante.

La scelta minima è A e 7: due carte.

C’è una distinzione importante. Se giriamo una carta e troviamo subito una violazione, possiamo fermarci: sappiamo già che la regola è falsa. Ma il problema chiede una scelta iniziale che funzioni in ogni caso, anche quando la prima carta controllata rispetta la regola. Per questo la risposta generale richiede entrambe.

Indichiamo con P “la lettera è una vocale” e con Q “il numero è pari”. La regola è l’implicazione P ⇒ Q. L’unico caso che la rende falsa è P vero e Q falso: una vocale associata a un dispari.

Per ogni carta possiamo elencare quattro possibilità: vocale–pari, vocale–dispari, consonante–pari, consonante–dispari. Solo la seconda è proibita. La carta A lascia aperta questa possibilità dal lato della vocale; la carta 7 la lascia aperta dal lato del dispari. D e 4 la escludono già con la faccia visibile.

Da “se vocale, allora pari” segue la contrapposta: “se dispari, allora consonante”. Non segue invece l’inversa “se pari, allora vocale”. Confondere queste due direzioni è il motivo per cui girare il 4 può sembrare necessario.

In questo gioco controlliamo una regola su un insieme finito noto: le quattro carte. Un controllo completo può quindi stabilire che la regola vale per tutte e quattro. Non sarebbe invece una prova universale su qualunque carta immaginabile: altri oggetti, fuori dall’insieme esaminato, richiederebbero un argomento diverso.

Mantieni le stesse carte A, D, 4, 7, ma cambia la regola: «Su un lato c’è una vocale se e solo se sull’altro c’è un numero pari». Quali carte devi scegliere adesso? Prova a rispondere prima di leggere il seguito.

Ora servono tutte e quattro. La frase contiene due obblighi: vocale ⇒ pari e pari ⇒ vocale. A potrebbe nascondere un dispari; 7 una vocale; D un pari; 4 una consonante. Ciascuna carta può dunque smentire uno dei due obblighi.

Non è cambiato il tavolo, ma il significato della regola. Le parole “se e solo se” trasformano una condizione in un’equivalenza: proprio per questo raddoppiano qui i controlli necessari.

Peter C. Wason studiò questo tipo di scelta negli anni Sessanta. Nel suo articolo Reasoning about a rule (1968) analizzò la difficoltà di usare la contrapposta per controllare un’affermazione condizionale.

Il rompicapo permette di osservare una differenza sottile: saper riconoscere una violazione quando la vediamo e saper scegliere in anticipo dove cercarla sono due compiti diversi. La lezione pratica del gioco è chiedersi quale risultato potrebbe davvero farci cambiare idea.