Giuseppe Peano, dai numeri alle curve che riempiono lo spazio

Perché è importante

Contare sembra la cosa più naturale del mondo. Tracciamo un segno, poi un altro, e sappiamo che possiamo continuare. Giuseppe Peano chiese qualcosa di più: quali regole rendono possibile quel “continuare”? La sua risposta contribuì a trasformare l’aritmetica in una teoria costruita su proprietà esplicite, invece che affidata soltanto all’esperienza del contare.

La stessa attenzione alle definizioni lo condusse a un risultato sorprendente: una curva continua può passare per tutti i punti di un quadrato. L’immagine abituale di una linea sottile non basta a descrivere ciò che la continuità permette. Fra numeri e geometria, il suo lavoro insegna a distinguere le proprietà dimostrate dalle abitudini della nostra immaginazione.

La vita

Nato nel 1858 in una famiglia contadina vicino a Cuneo, Peano studia a Torino e si laurea in matematica nel 1880. Diventa assistente di Enrico D’Ovidio e poi di Angelo Genocchi. Il lavoro sulle lezioni di analisi di Genocchi gli offre l’occasione per controllare definizioni, correggere argomenti e sviluppare risultati propri.

La stagione decisiva arriva alla fine degli anni Ottanta: il Calcolo geometrico del 1888, gli Arithmetices principia del 1889 e la curva del 1890. Nello stesso anno ottiene la cattedra di Calcolo infinitesimale a Torino. Riunisce poi collaboratori attorno al progetto del Formulario, una raccolta di matematica espressa attraverso un linguaggio simbolico comune.

Rimane legato all’insegnamento e alla ricerca torinese fino alla morte, nel 1932. La sua attività attraversa discipline che oggi spesso studiamo separatamente: analisi, geometria e logica diventano, nelle sue mani, modi diversi di interrogare il significato delle parole matematiche.

Le idee che hanno cambiato la matematica

1. I numeri naturali, a partire dal successore

Negli Arithmetices principia Peano presenta un sistema di assiomi per l’aritmetica. Una formulazione moderna parte da 0 e dall’operazione di successore, indicata con S: S(0) è 1, S(1) è 2, e così via. Nella formulazione storica Peano partiva da 1; cambiare il punto iniziale richiede di adattare coerentemente la notazione.

Le condizioni essenziali dicono che ogni naturale ha un successore, che 0 non è successore di alcun naturale e che successori uguali provengono da numeri uguali. A queste si aggiunge l’induzione. Insieme, le regole impediscono sia di tornare all’inizio sia di far confluire due numeri diversi nello stesso passo.

Si possono allora definire le operazioni per ricorsione: n + 0 = n e n + S(m) = S(n + m). Sommare significa ripetere l’operazione di successore secondo una regola precisa. È il passaggio dall’intuizione di “aggiungere oggetti” a una costruzione che permette di giustificare le proprietà del calcolo.

2. Una curva che riempie un quadrato

Nel 1890 Peano costruisce una funzione continua dall’intervallo [0,1] al quadrato [0,1] × [0,1] la cui immagine è l’intero quadrato. Ogni punto del quadrato viene raggiunto per almeno un valore del parametro. Non basta dunque dire che una curva è continua per concludere che la sua immagine sia una linea priva di area.

Per avvicinarsi all’idea, immaginiamo percorsi sempre più fitti, organizzati su suddivisioni del quadrato. Ogni disegno finito lascia spazi vuoti. Il risultato riguarda una funzione limite, costruita e controllata matematicamente: non una matita di spessore positivo che annerisce un foglio. Il salto fra approssimazione e limite è proprio il punto delicato.

La funzione non è iniettiva: alcuni punti vengono visitati più volte. Non stabilisce quindi un’equivalenza topologica fra segmento e quadrato. La continuità conserva certe relazioni di vicinanza, ma una funzione continua può sovrapporre punti e perdere informazioni. Per riconoscere la forma di uno spazio servono condizioni più forti.

3. Un linguaggio per controllare le dimostrazioni

Il progetto del Formulario cerca di rendere espliciti oggetti, ipotesi e passaggi logici. Una buona notazione aiuta a vedere dove finisce una premessa e dove comincia una conclusione. Dire “ogni numero” è diverso da dire “esiste un numero”: la differenza è piccola nella frase, enorme nella dimostrazione.

Questo programma non rende automaticamente facile la matematica. Un testo molto compatto può risultare difficile da imparare. La sua forza sta nella possibilità di controllare il ragionamento: un simbolo deve conservare lo stesso significato, una conclusione deve seguire dalle ipotesi dichiarate. La precisione del linguaggio diventa uno strumento di scoperta.

La formula o il teorema simbolo

L’induzione è il principio che permette di passare da un caso iniziale a tutti i naturali. Scriviamo P(n) per una proprietà del numero n:

P(0) e, per ogni n, P(n) ⇒ P(n + 1)
⟹ P(n) vale per ogni numero naturale n

Occorre dimostrare due cose: che il punto di partenza funziona e che ogni caso trasmette la proprietà al successivo. Non si assume che tutti i casi siano veri: nel secondo passaggio si dimostra un’implicazione. L’assioma di induzione autorizza poi la conclusione generale. Nella formulazione insiemistica, un sottoinsieme dei naturali che contiene 0 ed è chiuso per successore contiene tutti i naturali.

Un problema raccontato

Scriviamo i primi numeri dispari e sommiamoli: 1; poi 1 + 3 = 4; poi 1 + 3 + 5 = 9. Compaiono quadrati perfetti. Tre esempi fanno nascere una congettura, ma non bastano a dimostrarla.

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

Per n = 1 l’uguaglianza è vera. Supponiamo ora che la somma dei primi n dispari sia n². Il dispari successivo è 2n + 1: aggiungendolo otteniamo n² + 2n + 1 = (n + 1)². Abbiamo dimostrato il passaggio da n a n + 1; l’induzione conclude la prova per ogni intero n ≥ 1.

Anche il disegno aiuta: a un quadrato di n per n punti aggiungiamo una cornice a L composta da 2n + 1 punti. Nasce un quadrato più grande. La figura suggerisce il motivo della formula; l’induzione precisa perché quel motivo funziona senza fermarsi a una certa dimensione.

Curiosità

• Il testo del 1889 sugli assiomi è scritto in latino: una scelta singolare per un’opera che proponeva un linguaggio matematico nuovo.
• Nel 1900 Bertrand Russell incontrò Peano al congresso di filosofia di Parigi e rimase colpito dalla precisione delle sue discussioni.
• Peano propose il latino sine flexione, una lingua ausiliaria con una grammatica semplificata.
• L’ultima edizione del Formulario mathematico, del 1908, impiegava proprio questa lingua.

Cosa leggere

Per conoscere la sua vita

Hubert C. Kennedy, Peano: Life and Works of Giuseppe Peano (1980). Una biografia scientifica per seguire insieme le ricerche, l’insegnamento e il progetto simbolico.

Per incontrare le idee originali

Giuseppe Peano, Arithmetices principia, nova methodo exposita (1889). Il testo storico sull’aritmetica va letto tenendo presente la distanza fra la sua notazione e quella dei manuali odierni. Una presentazione degli assiomi aiuta a orientarsi.

Giuseppe Peano, Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane (1890). Il breve articolo introduce la costruzione che obbligò a ripensare il concetto di curva.

Fonti biografiche

La biografia MacTutor dell’Università di St Andrews documenta cronologia, opere e rapporti con altri matematici.

L’eredità

Il nome di Peano accompagna due domande fondamentali: da quali regole partiamo, e che cosa consentono davvero le nostre definizioni? Gli assiomi mostrano come costruire l’aritmetica; la curva mostra quanto possa sorprenderci una definizione presa sul serio.

Il suo lascito è anche un’abitudine di lavoro: cercare le ipotesi mancanti, distinguere un esempio da una prova, controllare il salto verso l’infinito. Sono gesti utili tanto davanti a un problema elementare quanto nella ricerca più astratta.

In una frase

Giuseppe Peano ha mostrato che definire con precisione può rendere sorprendente perfino ciò che credevamo più ovvio.

DALLA MIA BIBLIOTECA

Questi due libri, non centrati su Peano, presenti nella mia biblioteca permettono però di approfondire il contesto logico e il problema dei fondamenti:

• Bertrand Russell, Introduzione alla filosofia matematica: un ingresso ai concetti di numero, ordine e continuità.
• Bertrand Russell, I Princìpi della matematica: un percorso più impegnativo nel programma logicista e nella costruzione dei concetti matematici.

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