Tre fratelli ricevono in eredità un branco di diciassette cammelli. Il testamento assegna al maggiore la metà, al secondo un terzo e al minore un nono del totale. Le quote sembrano semplici, ma nessuna produce subito un numero intero di animali.
Un viandante propone un espediente: aggiunge temporaneamente un cammello al branco e invita i fratelli a ripartirlo. A quel punto le divisioni diventano facili, e il cammello prestato sembra poter tornare al proprietario senza che nessuno resti scontento.
È una soluzione elegante oppure un gioco di prestigio? Fermati a controllare che cosa significhi davvero “la metà”, “un terzo” e “un nono”: il punto non è solo fare i conti, ma capire se il racconto rispetta alla lettera il testamento.
PROBLEMA 1729 #040
Tempo: 10–15 minuti
Difficoltà: Basso
Categoria: Frazioni, proporzioni e numeri interi
Il problema
Un padre lascia ai tre figli 17 cammelli. Il maggiore deve ricevere la metà del branco, il secondo un terzo e il minore un nono. Non vogliono vendere né dividere gli animali. Un viandante presta un cammello, portando il totale a 18: il maggiore prende 9 cammelli, il secondo 6 e il minore 2. Il viandante riprende il proprio animale. Come può funzionare il trucco? E le quote sono davvero quelle stabilite nel testamento?
Fermati qui e prova a rispondere a entrambe le domande: ricostruisci i conti, poi confronta le frazioni assegnate con il branco iniziale di 17.
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Prima di dividere i cammelli, somma le quote del testamento. Portale a un denominatore comune: quanto del branco assegnano complessivamente i tre fratelli?
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Il numero 18 è divisibile per 2, 3 e 9. Calcola le tre quote su 18, poi chiediti se “metà di 18” coincide con “metà di 17”.
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Le quote sommano 1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18. Se si prende un branco di 18, le tre frazioni diventano numeri interi: 9, 6 e 2 cammelli. La somma è 17, quindi resta un animale che il viandante può riprendere.
Il trucco aritmetico è corretto, ma non realizza alla lettera le quote di un’eredità di 17 cammelli. Su 17, la metà sarebbe 8,5, un terzo 5 e 2/3, un nono 1 e 8/9: non si possono assegnare quelle quantità come animali indivisibili. Distribuendo 9, 6 e 2, i figli ricevono invece quelle frazioni di 18, non di 17. L’espediente funziona nel racconto perché le quote valgono complessivamente solo 17/18 del totale aumentato; non trasforma però un testamento impossibile in una divisione esatta dell’originale.
Per rispettare quote esatte riferite ai 17 cammelli bisognerebbe consentire frazioni di animale oppure vendere il branco e dividere il ricavato. Il viandante risolve il problema pratico di ottenere tre numeri interi, ma cambia il denominatore rispetto alle quote iniziali.
La matematica dentro al gioco
Per sommare frazioni con denominatori diversi si cerca un denominatore comune. Il minimo comune multiplo di 2, 3 e 9 è 18; perciò le quote diventano 9/18, 6/18 e 2/18. La loro somma, 17/18, lascia una parte non assegnata pari a 1/18.
Il branco prestato porta il totale proprio a 18: ogni quota è ora intera, e la parte non assegnata è 1/18 di 18, cioè un cammello. Ecco perché l’animale può essere restituito. La divisibilità dei numeri spiega il trucco; il confronto dei denominatori ne chiarisce il limite.
Una variante per te
Immagina un’eredità di 18 cammelli con le stesse quote: metà, un terzo e un nono. Quanti animali si possono assegnare ai tre figli e quanti restano fuori dalle quote? Prova poi a spiegare perché il resto non è un errore di calcolo.
Lo sapevi?
Il medesimo schema compare anche nei problemi di ripartizione di oggetti indivisibili, come seggi o lotti: le percentuali possono essere precise, mentre i risultati devono essere interi. In quei casi occorrono regole di arrotondamento e la somma delle quote non basta da sola a garantire una divisione esatta.
Il conto torna, le ipotesi vanno controllate
#040 — I diciassette cammelli e l’eredità impossibile
A volte il trucco non risolve il problema: ci insegna a controllare che cosa stiamo davvero dividendo.
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