Apriamo un elenco di popolazioni, fatture, lunghezze o superfici. Se la prima cifra potesse essere una qualunque fra 1 e 9, dovremmo incontrarle tutte con la stessa frequenza. E invece l’1 compare molto più spesso.
Prendete una pagina piena di quantità: 1.472 abitanti, 86 chilometri, 312 euro, 19,6 ettari, 7.540 tonnellate. Senza fare calcoli complicati, guardate soltanto la prima cifra diversa da zero. Sarebbe naturale aspettarsi che ciascuna delle nove possibilità occupi circa un nono dell’elenco, cioè l’11,1%. Ma in molti insiemi di dati reali l’1 apre quasi un numero su tre, mentre il 9 non arriva a uno su venti.
Perché tanti numeri cominciano con 1? La risposta si chiama legge di Benford. È una regolarità sorprendente, utile e spesso raccontata male: non vale per ogni collezione di numeri e, da sola, non dimostra che qualcuno abbia falsificato dei dati.
Una lotteria che non assegna premi uguali
La formula è breve. Se d è una cifra da 1 a 9, la probabilità che sia la prima cifra significativa è
P(d) = log10(1 + 1/d).
Per d = 1 otteniamo log10(2), circa 0,301: il 30,1%. Per d = 9 otteniamo log10(10/9), circa 0,0458: il 4,6%. Fra i due estremi la probabilità diminuisce con regolarità. Non è una legge che favorisca numeri piccoli in generale: riguarda la prima cifra significativa. In 0,0047 è il 4; in −0,082 è l’8, se ignoriamo il segno; gli zeri iniziali servono soltanto a collocare la virgola.
La storia comincia nel 1881. L’astronomo Simon Newcomb osservò che le prime pagine delle tavole dei logaritmi erano più consumate delle ultime: i calcolatori sembravano cercare più spesso numeri che iniziavano con cifre piccole. Nel 1938 il fisico Frank Benford riscoprì il fenomeno e confrontò oltre ventimila valori tratti da insiemi molto diversi. Il suo nome rimase legato alla regolarità, anche se sarebbe corretto parlare di legge di Newcomb–Benford.
La riga giusta è logaritmica
Per capire la formula, prendiamo tutti i numeri positivi fra 1 e 10. Quelli che cominciano con 1 occupano l’intervallo da 1 incluso a 2 escluso; quelli che cominciano con 2 vanno da 2 a 3, e così via. Su una riga ordinaria questi nove intervalli hanno tutti lunghezza uno. Su una scala logaritmica, però, contano i rapporti: passare da 1 a 2 significa raddoppiare, mentre passare da 8 a 9 significa moltiplicare soltanto per 1,125.
Ogni numero positivo si può scrivere come 10k × m, dove k è un intero e m è compreso fra 1 e 10. La prima cifra dipende da m, non dalla posizione della virgola. Se la parte frazionaria di log10(x) è distribuita uniformemente fra 0 e 1, la quota dei valori che cominciano con d coincide con la lunghezza dell’intervallo logaritmico da d a d + 1:
log10(d + 1) − log10(d) = log10(1 + 1/d).
Questa è la vera condizione matematica. Dire semplicemente che un insieme è “molto ampio” non basta: esistono distribuzioni estese su molti ordini di grandezza che non sono benfordiane. La legge emerge spesso da mescolanze di fenomeni e processi moltiplicativi, ma non è una magia inevitabile dei grandi numeri.
Cambiare unità non cambia la storia
Un indizio importante è l’invarianza di scala. Se un elenco di lunghezze segue Benford quando è espresso in metri, dovrebbe continuare a farlo in centimetri; un insieme di importi non dovrebbe perdere la regolarità passando da euro a un’altra valuta. Moltiplicare tutti i valori per una costante trasla i loro logaritmi della stessa quantità e, quando le parti frazionarie sono uniformi, la distribuzione resta invariata.
Non bisogna trasformare questa osservazione in una dimostrazione universale. L’invarianza di scala caratterizza Benford all’interno di un modello probabilistico ben precisato; un elenco concreto può avere soglie, arrotondamenti, dipendenze e criteri di selezione che rompono il modello.
Quali dati possono seguirla?
La legge è plausibile quando osserviamo quantità misurate o conteggiate, positive, numerose, distribuite su più ordini di grandezza e non costrette dentro un intervallo stretto. Popolazioni di centri molto diversi, superfici geografiche, lunghezze di fiumi, fatturati o pagamenti senza una soglia dominante possono avvicinarsi alla curva. “Possono” è la parola importante: prima di applicare un test occorre capire come sono nati i dati.
Non ci aspettiamo invece Benford da numeri assegnati, come CAP, codici fiscali, numeri telefonici, identificativi o pettorali; non descrivono grandezze. Nemmeno altezze degli adulti espresse in centimetri, prezzi fissati fra 50 e 99 euro, estrazioni del lotto o valori tagliati da un limite amministrativo sono buoni candidati. Se tutti i numeri hanno tre cifre e sono uniformemente distribuiti da 100 a 999, ogni prima cifra compare esattamente cento volte.
Un campanello d’allarme, non una sentenza
La legge di Benford viene usata anche nell’analisi contabile e forense. Se un insieme che dovrebbe ragionevolmente seguirla mostra un eccesso insolito di certe cifre, può meritare un controllo. Ma lo scarto non identifica automaticamente una frode: può dipendere dal campione piccolo, da una soglia di spesa, dall’arrotondamento, da una modifica delle procedure o semplicemente dal fatto che l’insieme non era adatto.
Vale anche il contrario: un elenco compatibile con Benford non certifica che ogni dato sia corretto. Un test statistico confronta una caratteristica collettiva; non legge le intenzioni e non sostituisce documenti, controlli di coerenza e conoscenza del contesto. Le associazioni professionali che ne illustrano l’uso la presentano come uno strumento di selezione degli approfondimenti, non come una prova autosufficiente.
Prova anche tu
Scegliete un elenco pubblico di almeno duecento quantità positive che coprano più ordini di grandezza: per esempio le popolazioni di molti comuni o le superfici di numerosi territori. Annotate prima perché ritenete che l’insieme sia adatto. Eliminate soltanto valori nulli o mancanti, senza scegliere dopo aver visto il risultato.
In un foglio di calcolo estraete la prima cifra significativa, contate quante volte compare ciascun valore da 1 a 9 e dividete per il totale. Confrontate le percentuali con il primo diagramma. Poi moltiplicate tutte le quantità per 100 o per 0,001: senza arrotondamenti, le prime cifre non cambieranno. Infine ripetete il conteggio sugli interi da 100 a 999: otterrete il controesempio rosso del terzo diagramma.
Non cercate una coincidenza perfetta. In un campione finito le frequenze oscillano; la domanda interessante è se lo scarto sia compatibile con il modo in cui i dati sono stati prodotti. L’esperimento serve soprattutto a imparare a formulare l’ipotesi prima di guardare il grafico.
L’idea da portarsi via
La prima cifra non vive su una riga ordinaria, ma su una scala di rapporti. È questo cambio di prospettiva a rendere naturale ciò che, a prima vista, sembra un trucco. E la cautela sui limiti della legge è parte della matematica, non un dettaglio che ne diminuisce il fascino.
La legge di Benford è un altro esempio di matematica che si può vedere: basta guardare l’inizio dei numeri, ma occorre sapere quali numeri stiamo guardando.
DALLA MIA BIBLIOTECA
I numeri non ingannano (quasi) mai, Vincenzo Mauro. Un percorso divulgativo fra statistica e probabilità: è pertinente soprattutto per allenarsi a distinguere la regolarità matematica dall’interpretazione troppo rapida dei dati.
Un matematico legge i giornali, John Allen Paulos. Una guida a leggere percentuali, grafici e argomentazioni numeriche con spirito critico: il complemento ideale alla cautela necessaria quando Benford viene usata per cercare anomalie.
Fonti e approfondimenti
Simon Newcomb, Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers, American Journal of Mathematics, 4, 39–40, 1881. Frank Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proceedings of the American Philosophical Society, 78(4), 551–572, 1938.
Arno Berger e Theodore P. Hill, A Basic Theory of Benford’s Law, Probability Surveys, 8, 2011: condizioni matematiche, invarianza di scala ed esempi. ISACA, Understanding and Applying Benford’s Law: requisiti e limiti nell’analisi dei dati.
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