Henri Lebesgue, un nuovo modo di misurare e integrare

Perché è importante

Un integrale può rappresentare un’area, una quantità accumulata o una media. Ma che cosa accade quando la funzione è troppo irregolare per i metodi abituali? Henri Lebesgue cambiò il modo di costruire questa operazione: mise al centro la misura degli insiemi sui quali la funzione assume determinati valori.

Il risultato non fu soltanto un catalogo più ampio di funzioni integrabili. La nuova teoria rese più efficace il passaggio al limite, operazione essenziale quando approssimiamo un oggetto complicato con una successione di oggetti semplici. In analisi e probabilità, molte dimostrazioni dipendono proprio dalla possibilità di scambiare un limite con un integrale.

La vita

Lebesgue nasce a Beauvais nel 1875, figlio di un tipografo. Entra all’École normale supérieure di Parigi nel 1894. Insegna al liceo di Nancy mentre sviluppa le ricerche che porteranno alla tesi Intégrale, longueur, aire, discussa nel 1902.

Dopo gli incarichi a Rennes e Poitiers passa alla Sorbona, poi nel 1921 al Collège de France. La sua ricerca comprende anche geometria, teoria del potenziale e problemi di dimensione. Muore a Parigi nel 1941. La teoria che lo rese celebre nacque dal confronto con difficoltà concrete dell’analisi, sullo sfondo dei lavori di Jordan, Borel e Baire.

Le idee che hanno cambiato la matematica

1. Misurare insiemi oltre gli intervalli

La lunghezza di un intervallo è la differenza fra i suoi estremi. Estendere questa idea a insiemi più complicati richiede regole coerenti. La misura di Lebesgue assegna lunghezze agli insiemi misurabili e soddisfa l’additività numerabile: la misura di un’unione numerabile di insiemi disgiunti è la somma delle loro misure.

Una conseguenza sorprendente riguarda i razionali fra 0 e 1. Sono infiniti e densi: ogni intervallo, per quanto piccolo, ne contiene. Eppure formano un insieme di misura zero. Si possono enumerare e coprire con intervalli le cui lunghezze totali siano inferiori a qualsiasi numero positivo scelto in anticipo.

Densità e misura descrivono quindi proprietà diverse. La prima dice dove possiamo trovare punti; la seconda quantifica l’estensione dell’insieme. Per evitare un equivoco, non tutti i sottoinsiemi della retta sono misurabili nel quadro usuale della teoria: la parola “misurabile” indica una condizione matematica precisa.

2. Raggruppare per valori

Nell’integrale di Riemann suddividiamo l’intervallo di partenza in piccoli intervalli e sommiamo prodotti di altezza e larghezza. L’idea di Lebesgue può essere avvicinata raggruppando invece i punti nei quali la funzione assume valori simili, e misurando quei gruppi.

Immaginiamo una funzione che valga 2 su un insieme misurabile E e 5 sul resto di [0,1]. Se E ha misura 0,3, il suo integrale è 2 × 0,3 + 5 × 0,7 = 4,1. Non occorre che E sia un unico intervallo. Conta quanto spazio occupa, anche quando è distribuito in molti pezzi.

Questa è una funzione semplice: assume un numero finito di valori. Per una funzione misurabile non negativa, l’integrale si costruisce prendendo il supremo degli integrali delle funzioni semplici non negative che le stanno sotto. Le funzioni con segno vengono trattate separando parte positiva e negativa, evitando l’espressione indeterminata infinito meno infinito.

La descrizione per “fette orizzontali” è un’intuizione utile, ma la definizione non richiede un disegno. Quando una funzione è integrabile secondo Riemann su un intervallo compatto, lo è anche secondo Lebesgue e i due valori coincidono. La nuova costruzione conserva dunque i risultati classici nel loro ambito.

3. Dare regole al passaggio al limite

Una successione di funzioni può avvicinarsi a una funzione limite punto per punto, mentre le sue aree si comportano diversamente. Per questo non basta scrivere un limite dentro un integrale e spostarlo fuori. Servono ipotesi che impediscano alla quantità integrata di concentrarsi o di sfuggire.

I teoremi di convergenza sono fra gli strumenti più importanti resi possibili dal nuovo integrale. La convergenza monotona riguarda successioni crescenti di funzioni misurabili non negative. La convergenza dominata permette invece oscillazioni, purché tutte le funzioni siano controllate in valore assoluto da una stessa funzione integrabile.

La formula o il teorema simbolo

Il teorema della convergenza dominata, nella formulazione moderna, dice: se fₙ sono misurabili, convergono a f quasi ovunque e soddisfano |fₙ| ≤ g quasi ovunque per una funzione integrabile g, allora f è integrabile e:

lim ∫ fₙ dμ = ∫ f dμ

“Quasi ovunque” significa che possiamo escludere un insieme di misura zero. La funzione g deve essere una sola per tutta la successione e deve avere integrale finito. Non basta trovare un maggiorante diverso per ciascun termine. Il teorema garantisce anche che l’integrale di |fₙ − f| tende a zero.

Su [0,1], per esempio, fₙ(x) = xⁿ converge a zero per x minore di 1. Nel punto 1 rimane uguale a 1, ma quel singolo punto ha misura zero. Il maggiorante g = 1 è integrabile: gli integrali convergono dunque a zero, come conferma il calcolo ∫₀¹ xⁿ dx = 1/(n + 1).

Un problema raccontato

Definiamo su [0,1] una funzione che vale 1 nei punti razionali e 0 negli irrazionali. È possibile attribuirle un integrale? Ogni intervallo contiene punti di entrambi i tipi. Per Riemann tutte le somme inferiori valgono zero e tutte le somme superiori valgono uno: non si incontrano.

Per Lebesgue il ragionamento cambia. La funzione è l’indicatrice di un insieme misurabile di misura zero, quello dei razionali. Il suo integrale vale quindi zero. Non significa che i razionali siano pochi o che si possano ignorare in qualunque problema: significa che non contribuiscono a questo integrale.

Proviamo anche a capire perché il controllo della convergenza è indispensabile. La funzione che vale n su (0,1/n) e zero altrove converge a zero in ogni punto di [0,1], ma ha sempre integrale 1. L’altezza cresce mentre la base si restringe. Non esiste un unico maggiorante integrabile per tutta la successione: altrimenti la convergenza dominata imporrebbe che gli integrali tendessero a zero.

Curiosità

• La tesi del 1902 riunisce già nel titolo tre problemi: integrale, lunghezza e area.
• Lebesgue sviluppò una parte decisiva delle sue idee mentre insegnava in un liceo.
• Le lezioni tenute al Collège de France diedero origine a libri sull’integrazione e sulle serie trigonometriche.
• Il suo nome compare anche negli spazi Lᵖ: ambienti in cui si confrontano funzioni attraverso integrali delle loro potenze.

Cosa leggere

Per conoscere la sua vita

La biografia MacTutor dell’Università di St Andrews offre una cronologia documentata e riferimenti alle opere.

Per incontrare la teoria originale

Henri Lebesgue, Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (1904). Un testo storico per seguire la nascita del nuovo punto di vista, con una terminologia che richiede attenzione al lettore moderno.

Per studiare la teoria moderna

Elias M. Stein e Rami Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (2005). Un percorso universitario dalla misura agli spazi di Hilbert, con esercizi e collegamenti fra le parti dell’analisi.

Per il teorema, la lezione 12 del corso MIT 18.102 presenta l’integrale e la convergenza dominata con la relativa dimostrazione.

L’eredità

La probabilità moderna interpreta il valore atteso come un integrale rispetto a una misura di probabilità. Gli spazi di funzioni, l’analisi di Fourier e lo studio delle equazioni differenziali utilizzano continuamente il linguaggio della misura. L’integrale di Lebesgue è diventato un ambiente comune per domande nate in ambiti diversi.

Resta soprattutto un metodo: prima chiarire che cosa vogliamo misurare, poi scegliere una definizione capace di rispettare le operazioni necessarie. Una buona generalizzazione conserva i casi conosciuti e permette di controllarne di nuovi.

In una frase

Henri Lebesgue ha cambiato il modo di sommare l’infinito, insegnandoci a misurare dove vivono i valori di una funzione.

DALLA MIA BIBLIOTECA

• Elias M. Stein e Rami Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces: il volume sviluppa sistematicamente misura, integrale di Lebesgue e teoria L².

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