Due scatole sono chiuse davanti a noi. Sappiamo che una è stata scelta, ma non quale. Da quella scatola esce una pallina oro. Quanto dovrebbe cambiare la nostra idea sulla scelta iniziale?
È una domanda piccola, quasi da gioco da tavolo. Eppure contiene una delle idee più potenti della probabilità: quando arriva un nuovo indizio, non dobbiamo dimenticare ciò che sapevamo prima, ma combinarlo con ciò che abbiamo appena osservato. È questo il cuore del teorema di Bayes.
Due scatole, ma non la stessa probabilità
Immaginiamo due scatole. La scatola A contiene tre palline oro e una blu; la scatola B contiene una pallina oro e tre blu. Prima di estrarre, però, la scatola non viene scelta lanciando una moneta: A viene scelta una volta su quattro, B tre volte su quattro.
Prima di vedere qualunque pallina, la probabilità che sia stata scelta A è dunque 1/4, cioè il 25%. Questa è la probabilità iniziale, o prior: non è una supposizione decorativa, ma parte dell’informazione disponibile. Se ignorassimo il modo in cui le scatole vengono scelte, perderemmo un pezzo essenziale del problema.
L’indizio da solo non basta
Ora esce una pallina oro. Se sapessimo già di avere A, la probabilità di osservare oro sarebbe 3/4. Ma la domanda che ci interessa va nella direzione opposta: avendo osservato oro, qual è la probabilità che la scatola fosse A?
Le due frasi si somigliano, ma non sono equivalenti. “Quanto spesso vedo oro se ho A?” è P(oro | A). “Quanto è probabile A dopo aver visto oro?” è P(A | oro). Confonderle significa scambiare la probabilità di un effetto sotto una causa con la probabilità della causa dopo aver osservato l’effetto.
Per capire la differenza possiamo immaginare 16 esperimenti. In media A viene scelta 4 volte e B 12 volte. Dalle 4 scelte di A otteniamo oro 3 volte; dalle 12 scelte di B otteniamo oro 3 volte. Tra i sei casi in cui vediamo oro, tre provengono da A e tre da B. Dopo l’indizio, quindi, A e B sono diventate ugualmente plausibili: la probabilità di A è 1/2.
Il teorema di Bayes
Il diagramma ad albero rende visibile il calcolo. Il percorso “A e oro” pesa 1/4 × 3/4 = 3/16. Anche il percorso “B e oro” pesa 3/4 × 1/4 = 3/16. Poiché abbiamo già visto oro, restano possibili soltanto questi due rami. La quota che appartiene ad A è:
P(A | oro) = (3/16) / (3/16 + 3/16) = 1/2.
In forma generale, se H è un’ipotesi ed E un’evidenza, il teorema scrive:
P(H | E) = P(E | H) P(H) / P(E).
Il numeratore unisce due ingredienti: quanto ritenevamo plausibile H prima dell’indizio e quanto l’indizio sarebbe compatibile con H. Il denominatore raccoglie tutti i modi in cui E può verificarsi e normalizza il risultato, così che le probabilità finali sommino a uno.
Aggiornare, non ricominciare da zero
Supponiamo di rimettere la pallina nella scatola e di estrarne un’altra. Anche la seconda è oro. Dopo il primo oro le probabilità di A e B erano 1/2 e 1/2. Un oro è tre volte più probabile sotto A che sotto B: 3/4 contro 1/4. Il nuovo indizio moltiplica quindi per 3 le quote a favore di A. Da 1:1 passiamo a 3:1, cioè al 75% per A.
La precisazione sul reinserimento è importante: rende le due estrazioni indipendenti una volta fissata la scatola. Senza reinserire la prima pallina, la composizione cambierebbe e con essa cambierebbero i numeri. Bayes non sostituisce il modello del fenomeno; lavora con il modello che gli forniamo.
Che cosa dice — e che cosa non dice
Il teorema non promette certezze automatiche. Dice come aggiornare coerentemente una probabilità quando sono specificati un punto di partenza e il comportamento dell’evidenza nelle diverse ipotesi. Se i dati sono scadenti, le probabilità condizionate sono stimate male o le alternative importanti sono state escluse, il risultato può essere preciso nel calcolo e fragile nel significato.
Questo è anche il motivo per cui i tassi di base contano. Un indizio abbastanza comune può non rendere probabile un evento molto raro. È una parentela concettuale con il ruolo dei pesi visto nel paradosso di Simpson: i numeri non vanno letti separandoli dal modo in cui i gruppi sono composti.
Un teorema con una storia
Il saggio di Thomas Bayes fu pubblicato postumo nel 1763, presentato alla Royal Society da Richard Price. Il problema era formulato nel linguaggio dell’epoca e la forma moderna del ragionamento venne sviluppata ulteriormente da Pierre-Simon Laplace. Oggi “bayesiano” indica un modo generale di pensare: trattare le probabilità come quantità che possono cambiare alla luce dell’evidenza, non come etichette fissate una volta per tutte.
Prova anche tu
Prepara due sacchetti opachi. Nel sacchetto A metti tre gettoni gialli e uno blu; nel sacchetto B uno giallo e tre blu. Prepara poi quattro carte: una con scritto A e tre con scritto B. Una persona pesca una carta senza mostrarla, prende il sacchetto corrispondente ed estrae un gettone.
- Prima dell’estrazione, scrivi la probabilità che la carta nascosta sia A.
- Dopo un gettone giallo, aggiorna la probabilità contando i due percorsi compatibili.
- Rimetti il gettone, mescola ed estrai ancora. Se esce di nuovo giallo, aggiorna una seconda volta.
- Ripeti l’intero esperimento molte volte e confronta le frequenze osservate con 25%, 50% e 75% previsti nei tre momenti.
Con pochi tentativi le frequenze oscilleranno: è normale. Il teorema descrive le probabilità del modello, mentre un esperimento finito ne offre una verifica inevitabilmente rumorosa. È lo stesso contrasto fra percorso teorico e traiettoria concreta incontrato nelle passeggiate casuali.
L’idea da portarsi via
Imparare da un indizio non significa dimenticare il punto di partenza. Significa pesare insieme ciò che ritenevamo plausibile e quanto l’indizio sia compatibile con ciascuna possibilità. Bayes trasforma il “cambiare idea” da gesto arbitrario in un calcolo trasparente: non ci dice che cosa credere in assoluto, ma come rendere coerente il passaggio dal prima al dopo.
Questo articolo fa parte di Scoprire la matematica, la serie dedicata alla matematica che si vede, si tocca e si incontra negli oggetti e nelle decisioni di ogni giorno.
DALLA MIA BIBLIOTECA
La matematica dell’incertezza di Marco Li Calzi accompagna il lettore nel linguaggio con cui la probabilità rende discutibile e misurabile ciò che non sappiamo: un naturale proseguimento del tema dell’aggiornamento.
Numeri che pensano. Le sei grandi idee matematiche dentro l’IA di Paolo Alessandrini mostra, fra le altre idee, perché il ragionamento bayesiano sia diventato uno degli strumenti matematici alla base dell’intelligenza artificiale.
Fonti e approfondimenti
- Stanford University, CS109 — Conditional Probability and Bayes’ Theorem.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy — Bayes’ Theorem.
- Thomas Bayes, An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances, trascrizione dell’articolo del 1763.
- Harvard University, Stat 110 — Probability.
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