Due buste identiche contengono denaro: una ha il doppio dell’altra. Ne scegli una e ti viene offerta la possibilità di cambiare. Un calcolo apparentemente impeccabile sembra promettere un guadagno medio del 25%.
Se però il ragionamento fosse valido per entrambe le buste, dovresti cambiare ancora, e poi ancora. Nessuna informazione nuova, nessun denaro aggiunto: da dove arriverebbe il vantaggio?
Questo gioco richiede di tenere distinti gli importi, ciò che sai e il meccanismo casuale. La difficoltà non sta nell’aritmetica, ma nel decidere quali probabilità sia lecito usare.
PROBLEMA 1729 #044
Tempo: 10–15 minuti
Difficoltà: Alto
Categoria: Probabilità e valore atteso
Il problema
Un organizzatore prepara due buste indistinguibili con importi S e 2S, dove S è positivo e finito. Scegli una busta con una moneta equa, indipendente dagli importi. Nessuno fornisce indizi e puoi cambiare gratuitamente una sola volta. L’obiettivo è massimizzare l’importo medio ricevuto.
A buste chiuse ragioni così: «Chiamo A il contenuto della mia busta. L’altra contiene A/2 oppure 2A, con probabilità 1/2 ciascuna. Il suo valore atteso è quindi (A/2 + 2A)/2 = 5A/4. Conviene cambiare».
Il ragionamento è corretto? Spiega la decisione a buste chiuse. Poi considera questo modello esplicito: l’organizzatore sceglie S = 10 euro oppure S = 20 euro con probabilità 1/2 ciascuna. Se puoi aprire la tua busta prima di decidere, che cosa conviene fare per ogni importo osservabile?
Prima di proseguire, fermati: elenca tutti gli esiti del modello con 10 e 20 euro. Per ciascuno scrivi il contenuto della busta scelta e di quella rimasta.
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Se gli importi fissati sono S e 2S, quanto guadagni passando dalla busta piccola alla grande? Quanto perdi nel percorso opposto?
Esprimi entrambe le differenze usando lo stesso S, invece di una lettera il cui valore cambia da un caso all’altro.
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Dopo aver osservato un importo, non tutte le preparazioni iniziali restano possibili.
Nel modello indicato, trovare 10 euro è compatibile con una busta più piccola ancora? E trovare 40 euro è compatibile con una busta più grande?
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A buste chiuse non c’è vantaggio nel cambiare. Per ogni S fissato, cambiare produce +S se avevi scelto la busta piccola e −S se avevi scelto quella grande. I due eventi hanno uguale probabilità: il guadagno medio è zero. Entrambe le scelte hanno valore atteso 3S/2.
La formula ingannevole tratta A come una costante mentre usa probabilità che descrivono due situazioni nelle quali A assume valori diversi. Se S è fissato, A vale S nel primo caso e 2S nel secondo. La media corretta dell’altra busta è (2S + S)/2, non il 125% di un unico importo A.
Nel modello con S casuale equiprobabile fra 10 e 20, ci sono quattro esiti, ciascuno con probabilità 1/4. Indichiamo con B il contenuto dell’altra busta:
- S = 10: A = 10, B = 20.
- S = 10: A = 20, B = 10.
- S = 20: A = 20, B = 40.
- S = 20: A = 40, B = 20.
Prima di guardare, E[A] = E[B] = (10 + 20 + 20 + 40)/4 = 22,50 euro. Dopo aver aperto, invece:
- Vedi 10 euro: B è certamente 20. Conviene cambiare.
- Vedi 20 euro: B può essere 10 o 40, ora davvero con probabilità 1/2 ciascuna. Il valore atteso è 25 euro: conviene cambiare.
- Vedi 40 euro: B è certamente 20. Conviene tenere la busta.
Seguendo questa strategia ottieni rispettivamente 20, 10, 40, 40 nei quattro esiti. La media è 27,50 euro. Il miglioramento rispetto a 22,50 euro viene dall’informazione ottenuta aprendo la busta e dalla decisione che ne dipende. Cambiare sempre avrebbe lasciato invariata la media.
A buste chiuse: nessun vantaggio. Dopo l’apertura: decide il modello.
La matematica dentro al gioco
Se S è una variabile casuale positiva con E[S] finito, la scelta iniziale equa e indipendente dà E[A] = E[B] = 3E[S]/2. Il guadagno B − A è integrabile perché il suo valore assoluto è S; il suo valore atteso è zero.
Dopo aver osservato A = a, serve invece la probabilità condizionata p(a) che la busta scelta sia quella piccola. Quando l’evento osservato ha probabilità positiva, il valore atteso dell’altra busta è:
E[B | A = a] = 2a · p(a) + (a/2) · (1 − p(a))
Cambiare conviene, in valore atteso, esattamente quando p(a) > 1/3; si è indifferenti se p(a) = 1/3. Sapere che la scelta iniziale era equa non rende automaticamente p(a) uguale a 1/2 dopo l’osservazione. Occorre conoscere la distribuzione degli importi; per distribuzioni continue il condizionamento richiede il corrispondente modello con densità.
La finitezza della media è essenziale nei confronti globali. Se S è finito in ogni singola prova ma ha media infinita, entrambe le buste possono avere valore atteso infinito. Sottrarre quei valori non produce zero: infinito meno infinito non è definito. Esistono modelli di questo tipo con vantaggio condizionato per ogni importo osservabile; non dimostrano un guadagno medio finito ottenibile cambiando sempre.
Una variante per te
L’organizzatore sceglie ancora S fra 10 e 20 euro, ma ora con probabilità rispettivamente 3/4 e 1/4. La scelta della busta resta equa e indipendente. Dopo aver visto 20 euro, conviene cambiare?
I due modi di osservare 20 hanno probabilità iniziali 3/8 e 1/8. Condizionando sull’osservazione, l’altra busta contiene 10 con probabilità 3/4 e 40 con probabilità 1/4. La sua media è 10 × 3/4 + 40 × 1/4 = 17,50 euro: conviene tenere i 20. Lo stesso importo osservato conduce a una decisione diversa perché è cambiata la distribuzione iniziale.
Lo sapevi?
Il paradosso delle due buste viene usato per discutere il condizionamento e il significato del valore atteso. Una presentazione è disponibile fra i Math Fun Facts di Harvey Mudd College; per una discussione delle formulazioni si può leggere The Two Envelope Paradox di Eric Schwitzgebel e Josh Dever.
Il punto non è imparare una regola del tipo “cambia” o “non cambiare”. È abituarsi a domandare: quale esperimento produce gli importi, che cosa ho osservato e rispetto a quale informazione sto calcolando la media?
Problema 1729
#044 — Le due buste: conviene sempre cambiare?
Giochi, enigmi e idee matematiche per menti curiose.
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