Cinque punti possono stare dove vuoi dentro un quadrato. Puoi spostarli verso gli angoli, allontanarli dal centro, distribuire con cura lo spazio. Eppure almeno due resteranno inevitabilmente vicini.
Il problema chiede una certezza, valida per ogni disposizione: una figura disegnata bene non basta. Servono poche linee e un’idea di conteggio.
Il trucco consiste nel cambiare ciò che contiamo. Invece di misurare tutte le distanze, cerchiamo posti in cui sistemare i punti.
PROBLEMA 1729 #042
Tempo: 10–15 minuti
Difficoltà: Medio
Categoria: Geometria e principio dei cassetti
Il problema
In un quadrato di lato 1 scegli cinque punti distinti, all’interno o sul bordo. Dimostra che almeno due si trovano a distanza minore o uguale a √2/2. La distanza è quella ordinaria in linea retta. Puoi sostituire questa soglia con un numero più piccolo mantenendo una garanzia valida per tutte le disposizioni?
Fermati e prova: quale suddivisione del quadrato potrebbe trasformare una domanda sulle distanze in una domanda sul numero dei punti?
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Dividi il lato a metà. Tracciando una linea orizzontale e una verticale ottieni quattro quadrati più piccoli. Quanti punti hai rispetto al numero delle regioni?
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Cinque oggetti distribuiti in quattro contenitori costringono almeno un contenitore ad accoglierne due. Qual è la distanza massima tra due punti dello stesso quadrato piccolo?
✅ Mostra la soluzione
Dividiamo il quadrato in quattro quadrati di lato 1/2. Assegniamo ciascuno dei cinque punti a una sola regione che lo contiene. Se un punto cade su una linea divisoria, scegliamo una delle regioni adiacenti secondo una convenzione fissa: non dobbiamo contarlo due volte.
Il principio dei cassetti garantisce che una regione contenga almeno due punti assegnati. Per questi due punti la differenza tra le coordinate orizzontali è al massimo 1/2; lo stesso vale per le coordinate verticali. Per il teorema di Pitagora la distanza al quadrato è quindi al massimo (1/2)²+(1/2)²=1/2. La distanza è al massimo √2/2.
La soglia è ottimale. Sistemiamo quattro punti nei quattro vertici e il quinto al centro. Dal centro a ogni vertice la distanza è √2/2; tra vertici distinti vale 1 oppure √2. La minima distanza tra due punti è dunque proprio √2/2. Nessuna costante inferiore può funzionare per tutte le configurazioni ammesse.
La parola «uguale» è necessaria: quattro vertici e centro mostrano perché.
La matematica dentro al gioco
Il principio dei cassetti afferma che n+1 oggetti distribuiti in n contenitori impongono almeno una coppia nello stesso contenitore. Qui i contenitori sono regioni geometriche con diametro controllato. Il diametro è la massima distanza tra due punti della regione: per un quadrato coincide con la diagonale.
La dimostrazione combina due ingredienti diversi: il conteggio garantisce la coppia, la geometria ne limita la distanza. Non dice in anticipo quali saranno i due punti. Offre una prova di esistenza e anche una procedura: assegnare i punti alle quattro regioni e cercare quella occupata almeno due volte.
Una variante per te
In un quadrato di lato L scegli dieci punti. Dimostra che due distano al massimo L√2/3.
Dividi ciascun lato in tre parti uguali: ottieni nove quadrati di lato L/3. Dieci punti in nove regioni producono una coppia nella stessa regione, la cui diagonale è L√2/3. Il ragionamento dimostra questa garanzia; da solo non dimostra che la costante sia la migliore possibile.
Più in generale, con n²+1 punti e una griglia n×n si ottiene la soglia L√2/n.
Lo sapevi?
Il principio dei cassetti è noto anche come principio di Dirichlet. La sua forza sta nella semplicità: ricompare nei problemi di divisibilità, nelle ripetizioni inevitabili e nell’approssimazione dei numeri.
Una conclusione esatta non richiede sempre misure esatte. In questo gioco non abbiamo calcolato le dieci distanze possibili tra cinque punti: abbiamo dimostrato che una di esse soddisfa necessariamente il limite.
Problema 1729
#042 — Cinque punti in un quadrato: due saranno vicini
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