Prendi i numeri da 1 a 9 e disponili in una griglia quadrata. La sfida è fare in modo che ogni riga, ogni colonna e anche le due diagonali diano la stessa somma.
Non basta trovare tre terne che facciano lo stesso totale: ciascun numero va usato una sola volta e tutte le direzioni devono funzionare contemporaneamente. Il centro della griglia, come vedrai, impone un vincolo sorprendentemente forte.
Prova prima senza cercare una formula. Poi chiediti quale debba essere la somma comune, e quali numeri possano stare uno di fronte all’altro. Il quadrato classico è noto come Lo Shu, ma il bello del problema è ricostruirne la logica.
PROBLEMA 1729 #041
Tempo: 10–15 minuti
Difficoltà: Medio
Categoria: Aritmetica e combinatoria
Il problema
Disponi i numeri da 1 a 9, senza ripeterne nessuno, nelle nove caselle di una griglia 3×3. Vuoi che la somma dei numeri di ogni riga, di ogni colonna e di entrambe le diagonali sia sempre la stessa. Qual è questa somma? E come puoi sistemare i numeri per riuscirci?
Fermati un momento: prova a trovare la somma comune prima di riempire la griglia. Poi cerca un modo per controllare insieme righe, colonne e diagonali.
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Somma tutti i numeri da 1 a 9. Le tre righe usano ogni casella una volta sola: quanto deve valere ciascuna riga se hanno tutte la stessa somma?
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Considera le quattro linee che attraversano il centro: due diagonali, riga centrale e colonna centrale. Ogni casella esterna compare in una di queste linee; il centro compare in tutte e quattro.
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La somma dei numeri è 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Le tre righe dividono questo totale, quindi la somma magica deve essere 45/3=15.
Il centro deve contenere 5. Infatti, sommando le quattro linee che lo attraversano si ottiene 4·15=60. In questa somma ogni numero esterno compare una volta e il centro quattro volte: il totale è dunque 45+3c, dove c è il numero centrale. Quindi 45+3c=60 e c=5. Ogni coppia di caselle opposte deve poi sommare 10, perché la linea che le unisce contiene anche il 5.
Una sistemazione possibile, detta quadrato di Lo Shu, è questa: prima riga 8, 1, 6; seconda riga 3, 5, 7; terza riga 4, 9, 2. Le righe fanno 15; anche le colonne (8+3+4, 1+5+9, 6+7+2) e le diagonali (8+5+2, 6+5+4) fanno 15. Tutti i numeri da 1 a 9 compaiono esattamente una volta.
La matematica dentro al gioco
Prima ancora di cercare la disposizione, il totale complessivo fissa la somma di ogni riga: in generale, se nove numeri distinti totalizzano 45 e sono distribuiti in tre righe uguali, ciascuna deve valere 15. Il centro non è una scelta estetica: le quattro linee centrali contano le caselle esterne una volta e quella centrale quattro volte. Questo conteggio forza il 5.
Il vincolo sulle coppie opposte riduce ulteriormente le possibilità: 1 e 9, 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6 sono coppie che sommano 10. Disponendole con cura si ottiene il quadrato; una rotazione o una riflessione produce altre versioni dello stesso schema. Una volta trovata una disposizione, la verifica delle otto linee completa la dimostrazione che funziona.
Una variante per te
Ora usa una volta ciascuno i numeri da 2 a 10. Riesci a costruire un quadrato con righe, colonne e diagonali di somma 18? Quale numero deve stare al centro e quanto devono sommare le coppie opposte? Parti dal quadrato appena trovato e prova a trasformarlo senza rifare tutti i conti.
Lo sapevi?
Il quadrato 3×3 tradizionale è chiamato Lo Shu e compare nella storia matematica cinese. Nel quadrato di Dürer, inciso nella Melencolia I del 1514, le quattro caselle centrali dell’ultima riga riportano l’anno dell’incisione: 1514. I quadrati magici hanno così attraversato giochi numerici, arte e storia.
Il centro impone l’ordine
#041 — Il quadrato magico: nove numeri, una sola somma
Quando ogni numero compare una volta sola, il totale rivela la regola e la regola guida la disposizione.
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