John Conway, il matematico che trasformava i problemi in giochi

Perché è importante

John Conway è stato uno dei matematici più originali e versatili del Novecento. Ha lavorato in campi lontanissimi tra loro e ha lasciato risultati profondi nella teoria dei gruppi, nella geometria, nella teoria dei numeri e nella teoria combinatoria dei giochi.

Ma ciò che lo rende davvero riconoscibile è il suo modo di fare matematica. Conway amava partire da giochi, puzzle e problemi apparentemente ricreativi per scoprire strutture di grande profondità. Nel suo lavoro il gioco non era una pausa dalla matematica seria: era spesso il punto di partenza della ricerca.

Il grande pubblico lo conosce soprattutto per il Game of Life, uno degli automi cellulari più celebri della storia. Conway stesso, però, considerava i numeri surreali uno dei risultati più importanti della propria carriera.

La vita

John Horton Conway nasce a Liverpool il 26 dicembre 1937. Mostra molto presto una straordinaria familiarità con i numeri e sviluppa una passione per problemi, giochi e strutture matematiche.

Studia matematica all’Università di Cambridge, dove completa anche il dottorato e inizia una lunga carriera accademica. A Cambridge lavora su problemi molto diversi, dalla teoria dei gruppi alla geometria dei reticoli, costruendosi progressivamente una reputazione di matematico capace di vedere connessioni impreviste tra aree lontane.

Nel 1987 si trasferisce alla Princeton University, dove assume la cattedra intitolata a John von Neumann. Princeton diventa la seconda grande casa della sua carriera scientifica.

Conway muore l’11 aprile 2020, negli Stati Uniti, per complicazioni legate al Covid-19. La sua scomparsa chiude una delle carriere più eccentriche, feconde e difficili da classificare della matematica contemporanea.

Il contesto storico

Nella seconda metà del Novecento la matematica diventa sempre più specializzata. Teoria dei gruppi, topologia, geometria, teoria dei numeri e informatica teorica sviluppano linguaggi molto sofisticati e comunità di ricerca autonome.

Conway rappresenta quasi l’opposto di questa tendenza. Pur lavorando ai massimi livelli in aree estremamente tecniche, conserva una curiosità trasversale. Un problema di scacchiera, una tassellazione, un gioco o un oggetto combinatorio potevano condurlo a una nuova struttura algebrica o geometrica.

È in questo ambiente che nascono alcune delle sue idee più celebri: i gruppi di Conway dallo studio delle simmetrie del reticolo di Leech, i numeri surreali dall’analisi dei giochi combinatori e il Game of Life dalla ricerca di regole elementari capaci di produrre comportamento complesso.

Le idee che hanno cambiato la matematica

1. Il Game of Life

Il Game of Life è un automa cellulare definito su una griglia quadrata. Ogni cella può essere viva o morta e il suo stato, a ogni passo, dipende soltanto dal numero di celle vive che la circondano.

Le regole sono semplicissime: una cella viva sopravvive con due o tre vicini vivi; muore per isolamento o sovraffollamento negli altri casi; una cella morta nasce se ha esattamente tre vicini vivi.

Da queste poche regole emergono strutture stabili, oscillatori, configurazioni che si muovono nello spazio e sistemi capaci di sostenere calcoli arbitrariamente complessi. Il Life è diventato uno degli esempi più celebri di complessità emergente: fenomeni molto ricchi prodotti da regole locali estremamente semplici.

2. I numeri surreali

Studiando i giochi combinatori, Conway arrivò a una nuova costruzione dei numeri. Ogni numero surreale viene definito attraverso due insiemi di numeri già costruiti, uno posto a sinistra e uno a destra.

Da questa idea nasce una classe vastissima che contiene i numeri naturali, interi, razionali e reali, ma anche infiniti e infinitesimi. È uno dei risultati più sorprendenti della matematica del Novecento: una nuova concezione del numero nata direttamente dall’analisi dei giochi.

3. I gruppi di Conway e il Monstrous Moonshine

Lo studio delle simmetrie del reticolo di Leech, un oggetto eccezionale in 24 dimensioni, portò Conway all’individuazione di tre gruppi sporadici che oggi portano il suo nome.

Con Simon Norton formulò inoltre la celebre congettura del Monstrous Moonshine, che collegava in modo inatteso il gigantesco Monster group alle forme modulari. Quella connessione, inizialmente quasi incredibile, sarebbe poi diventata uno dei grandi risultati dell’algebra moderna.

La formula o il teorema simbolo

Per Conway il simbolo più immediato non è una singola formula, ma il meccanismo del Game of Life. Lo si può condensare così:

\[\boxed{\text{stato futuro di una cella}=f(\text{numero di vicini vivi})}\]

La forza dell’idea sta nella sproporzione tra la semplicità della regola e la complessità dei comportamenti che ne derivano. Il sistema non contiene esplicitamente astronavi, oscillatori o porte logiche: queste strutture emergono dall’interazione tra celle elementari.

È una delle immagini più efficaci dell’opera di Conway: partire da regole minime e scoprire un universo matematico inatteso.

Un problema raccontato

Immaginiamo una griglia infinita di quadratini. Alcuni sono accesi, gli altri spenti. Non esiste un giocatore che muove le pedine: dopo aver scelto la configurazione iniziale, il sistema evolve da solo.

Ogni cella guarda soltanto le otto celle che le stanno intorno. Se è viva e ha troppo pochi vicini, muore. Se ne ha troppi, muore. Se ne ha due o tre, sopravvive. Se è morta ma ha esattamente tre vicini vivi, nasce.

Sembrerebbe un sistema destinato a spegnersi rapidamente. Invece compaiono configurazioni periodiche, oggetti che attraversano la griglia, strutture che producono altri oggetti e perfino costruzioni capaci di simulare un calcolatore universale.

La domanda iniziale era quasi un gioco. La risposta tocca invece uno dei temi più profondi della matematica e dell’informatica: come può la complessità nascere dalla semplicità?

L’eredità

Conway ha lasciato risultati importanti in molti settori, ma la sua eredità più profonda riguarda forse il modo stesso di concepire la ricerca matematica.

Ha mostrato che la distinzione tra matematica ricreativa e matematica avanzata può essere ingannevole. Un puzzle può contenere un nuovo sistema numerico. Un gioco su una griglia può diventare un modello di computazione universale. Una domanda sulle simmetrie può condurre a gruppi eccezionali di enorme importanza.

La sua opera continua a influenzare teoria dei gruppi, combinatoria, geometria, teoria dei giochi, sistemi complessi e informatica teorica. E il Game of Life rimane uno degli oggetti matematici più studiati, programmati e condivisi al mondo.

Curiosità

• Conway era celebre per la capacità di fare matematica conversando, giocando e ponendo problemi agli interlocutori.
• Il Game of Life divenne famoso nel 1970 grazie alla rubrica di Martin Gardner su Scientific American.
• Tra i giochi inventati o studiati da Conway figurano Sprouts, Phutball e Conway’s Soldiers.
• I numeri surreali furono resi celebri anche da Donald Knuth, che dedicò loro il libro Surreal Numbers.
• Con Simon Kochen formulò il Free Will Theorem, un risultato sui fondamenti della meccanica quantistica e sul determinismo.

Cosa leggere

Per iniziare

Siobhan Roberts, Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway
Una biografia che racconta bene sia il matematico sia il personaggio, mostrando quanto gioco, intuizione e ricerca fossero intrecciati nel suo modo di lavorare.

Donald Knuth, Surreal Numbers
Una presentazione narrativa e originale dell’idea dei numeri surreali, utile per entrare nello spirito della costruzione di Conway.

Per approfondire

John H. Conway, On Numbers and Games
Il testo fondamentale sui numeri surreali e sulla teoria combinatoria dei giochi.

Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays
Un’opera monumentale che sviluppa in modo sistematico la teoria matematica dei giochi combinatori.

John H. Conway, Neil J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups
Un riferimento avanzato su reticoli, impacchettamenti di sfere e gruppi di simmetria.

In una frase

John Conway ha mostrato che giocare con un problema non significa prenderlo meno sul serio: a volte è proprio dal gioco che nasce una nuova matematica.

Scopri gli altri articoli della serie “Grandi matematici”