John Nash, l’equilibrio e oltre

Perché è importante

Quando il risultato di una scelta dipende dalle scelte degli altri, ottimizzare da soli non basta. John Nash ha dato una forma matematica a questa interdipendenza: un equilibrio è una situazione nella quale nessuno migliora il proprio risultato cambiando unilateralmente strategia, mentre gli altri mantengono la propria.

Questa idea è diventata un riferimento per l’economia e le scienze sociali. Ma Nash ha lasciato risultati altrettanto profondi in geometria e in analisi. Il Premio Abel del 2015 riconosce proprio i contributi alle equazioni alle derivate parziali e alle loro applicazioni geometriche.

Per capire la sua statura conviene dunque seguire tre domande: quando scelte individuali possono essere reciprocamente coerenti? Come rappresentare una geometria astratta dentro uno spazio euclideo? Quando una soluzione debole di un’equazione possiede più regolarità di quella che sembrava disponibile?

La vita

Nato a Bluefield nel 1928, Nash studia al Carnegie Institute of Technology e ottiene il dottorato a Princeton nel 1950. La tesi sui giochi non cooperativi contiene l’idea che renderà celebre il suo nome. Negli anni Cinquanta lavora anche al MIT e affronta problemi lontani dalla teoria dei giochi.

Una grave malattia psichica interrompe a lungo il suo percorso professionale. La vicenda personale, raccontata dalla biografia di Sylvia Nasar e poi dal cinema, non esaurisce però il significato del suo lavoro matematico. Le fonti scientifiche permettono di distinguere risultati, contesto e ricostruzione narrativa.

Nel 1994 condivide con John Harsanyi e Reinhard Selten il premio per le scienze economiche. Nel 2015 riceve il Premio Abel con Louis Nirenberg. Muore il 23 maggio dello stesso anno, insieme alla moglie Alicia, in un incidente automobilistico. Il ricordo dell’Università di Princeton documenta il suo legame con l’ateneo.

Le idee che hanno cambiato la matematica

1. L’equilibrio nei giochi non cooperativi

Un gioco specifica giocatori, strategie e risultati. Il termine “non cooperativo” indica che analizziamo le scelte dei singoli senza assumere accordi vincolanti fra coalizioni. Non significa che i partecipanti debbano essere ostili.

Nash dimostra che ogni gioco con un numero finito di giocatori e di strategie pure ammette almeno un equilibrio in strategie miste. Una strategia mista è una distribuzione di probabilità sulle azioni disponibili. I risultati vengono confrontati attraverso il loro valore atteso.

La distinzione è essenziale: un equilibrio in scelte deterministiche può mancare. In sasso, carta, forbici, qualsiasi coppia di mosse fisse permette a qualcuno di migliorare cambiando. Scegliere ciascuna mossa con probabilità un terzo elimina invece questo vantaggio unilaterale. L’esistenza non implica unicità, equità o facilità di calcolo.

2. Dare una forma a una geometria

Una varietà riemanniana descrive uno spazio insieme a una regola per misurare lunghezze e angoli. Nash mostra che una geometria riemanniana liscia può essere realizzata isometricamente in uno spazio euclideo di dimensione sufficientemente grande.

“Isometrico” significa che viene preservata la metrica, quindi la lunghezza delle curve. Non significa che la distanza rettilinea nello spazio ambiente coincida sempre con la distanza percorsa sulla varietà. Pensiamo a due punti su una sfera: attraversare l’interno e camminare sulla superficie sono due operazioni diverse.

I risultati di classe C¹, sviluppati anche da Nicolaas Kuiper, mostrano una flessibilità sorprendente. Le ipotesi di regolarità contano: non possiamo trasferire automaticamente alla situazione liscia tutto ciò che è possibile con una sola derivata continua.

3. La regolarità delle soluzioni

Nelle equazioni differenziali spesso si costruisce prima una soluzione in senso debole, cioè una funzione che soddisfa un’identità integrale. Resta da capire se abbia continuità e derivate sufficienti per una descrizione più concreta.

Nash, indipendentemente da Ennio De Giorgi, ottiene stime fondamentali di regolarità per equazioni ellittiche uniformemente ellittiche con coefficienti poco regolari. Questo passaggio contribuisce alla soluzione del diciannovesimo problema di Hilbert. La motivazione scientifica del Premio Abel spiega il ruolo di questi risultati nella moderna analisi geometrica.

La formula o il teorema simbolo

Indichiamo con s* una combinazione di strategie e con uᵢ il guadagno atteso del giocatore i. La condizione di equilibrio è:

uᵢ(sᵢ*, s₋ᵢ*) ≥ uᵢ(sᵢ, s₋ᵢ*) per ogni giocatore i e ogni sua strategia sᵢ

Il simbolo s₋ᵢ* riunisce le strategie degli altri. La disuguaglianza dice che, lasciandole ferme, il giocatore i non trova una deviazione migliore. Non confronta invece il risultato con quello ottenibile se tutti cambiassero insieme.

L’enunciato di esistenza assicura che, nei giochi finiti e ammettendo strategie miste, almeno una combinazione soddisfa simultaneamente queste disuguaglianze. La dimostrazione impiega un teorema di punto fisso: si traduce il problema in una trasformazione su uno spazio di probabilità e si cerca un punto che resti invariato.

Un problema raccontato

Due persone scelgono contemporaneamente fra Testa e Croce. Se le scelte coincidono, Anna riceve un punto e Bruno ne perde uno; se sono diverse, accade il contrario. Nessuno vede la scelta dell’altro prima di decidere.

Non esiste equilibrio in strategie pure. Se entrambi scelgono Testa, Bruno preferisce Croce; se scelgono diversamente, Anna preferisce cambiare. Lo stesso ragionamento vale per le altre due combinazioni.

Supponiamo che Bruno scelga Testa con probabilità q. Per Anna, giocare Testa dà guadagno atteso 2q − 1, mentre giocare Croce dà 1 − 2q. Le due possibilità si equivalgono esattamente quando q = 1/2. Lo stesso calcolo vale scambiando i ruoli.

Se entrambi usano probabilità 1/2, il guadagno atteso è zero e nessuno può migliorarlo deviando da solo. Questo è un equilibrio misto. Le singole partite continuano ad avere un vincitore: l’equilibrio riguarda il confronto fra strategie, non l’annullamento degli esiti concreti.

Il calcolo mostra anche perché bisogna esplicitare il modello. Abbiamo assunto scelte simultanee, assenza di informazioni sulla mossa corrente dell’altro e guadagni esattamente opposti. Cambiare una di queste regole può cambiare l’analisi. L’equilibrio non è una formula da applicare a qualunque situazione senza prima descriverla.

Curiosità

• Nash riscoprì indipendentemente il gioco di Hex, già inventato da Piet Hein: un altro incontro fra geometria e strategia.
• Il breve articolo del 1950 sugli equilibri precede il più ampio lavoro Non-Cooperative Games del 1951.
• Il premio del 1994 e l’Abel del 2015 riconoscono aspetti diversi del suo lavoro: teoria dei giochi e analisi geometrica.
• Il film A Beautiful Mind deriva dalla biografia di Sylvia Nasar; una scena cinematografica non sostituisce la definizione matematica di equilibrio.

Cosa leggere

Per conoscere la sua vita

Sylvia Nasar, Il genio dei numeri. Una biografia ampia, da affiancare alle fonti universitarie quando si vuole ricostruire con precisione il percorso scientifico.

Per capire i giochi

Tom Siegfried, È la matematica, bellezza! John Nash e la teoria dei giochi. Un’introduzione divulgativa alle idee e alle applicazioni della disciplina.

Fonti e testi originali

John Nash, Equilibrium Points in n-Person Games (1950) e Non-Cooperative Games (1951). Il saggio di Harold W. Kuhn in PNAS ne ricostruisce il significato. Per geometria e analisi, si veda il dossier ufficiale Abel 2015.

L’eredità

Nash ha ampliato il nostro modo di ragionare sulle possibilità. Nei giochi, una situazione coerente può esistere anche quando nessuna scelta fissa sembra stabile. In geometria, un oggetto definito attraverso misure interne può trovare una realizzazione concreta in uno spazio più grande.

Questi risultati non danno automaticamente una ricetta semplice. Ci insegnano però a distinguere tre domande: un oggetto esiste? Come possiamo costruirlo? Quali proprietà possiede? Tenerle separate rende più chiaro anche ciò che chiediamo ai modelli economici e agli algoritmi.

In una frase

John Nash ha mostrato come cercare coerenza nelle scelte e nuove possibilità nelle forme della geometria.

DALLA MIA BIBLIOTECA

• Sylvia Nasar — Il genio dei numeri. Storia di John Nash, matematico e folle. La biografia censita nel catalogo.
• Tom Siegfried — È la matematica, bellezza! John Nash e la teoria dei giochi. Per approfondire il linguaggio delle decisioni interdipendenti.

Scopri gli altri articoli della serie “Grandi matematici”