Quando una strada in più peggiora il traffico

Una scorciatoia dovrebbe farci arrivare prima. Ma in una rete affollata ciò che conviene a ciascuno può peggiorare il viaggio di tutti.

Immaginate che il navigatore segnali una nuova strada fra casa e ufficio. È breve, scorrevole, quasi irresistibile. La provate voi, poi la provano gli altri. Dopo qualche giorno il percorso che prima richiedeva poco più di un’ora ne richiede un’ora e venti. Nessun incidente, nessun semaforo aggiunto: è cambiata soltanto la rete delle possibilità.

Può accadere davvero, almeno in modelli matematici ben definiti. Nel 1968 il matematico tedesco Dietrich Braess mostrò che aggiungere un collegamento a una rete stradale può aumentare il tempo di viaggio all’equilibrio. Oggi parliamo di paradosso di Braess. La sorpresa non nasce da una strada “cattiva”, ma dall’incontro fra congestione e decisioni individuali.

Una città ridotta a quattro punti

Per vedere il meccanismo non serve disegnare un’intera città. Bastano quattro nodi: la partenza S, l’arrivo T e due incroci intermedi A e B. Le strade sono frecce, perché in questo esempio si percorrono in una sola direzione. È lo stesso linguaggio dei grafi incontrato nei ponti di Königsberg: i luoghi diventano nodi, i collegamenti diventano archi.

Supponiamo che 4.000 automobilisti debbano andare da S a T. Due tratti hanno un tempo fisso di 45 minuti. Sugli altri due il tempo dipende dal numero di persone che li usa: se il flusso sul tratto è x, il tempo è x/100 minuti. Con 2.000 automobilisti servono 20 minuti; con 4.000 ne servono 40.

Se metà degli automobilisti sceglie il percorso alto S–A–T e metà quello basso S–B–T, entrambi richiedono 65 minuti. Se troppi si spostassero sopra, il tratto S–A rallenterebbe e il percorso basso diventerebbe più conveniente; accadrebbe il contrario se si affollasse la strada inferiore. La ripartizione 2.000 e 2.000 è dunque stabile.

Che cosa significa equilibrio?

Nel 1952 l’ingegnere John Glen Wardrop formulò un principio diventato fondamentale nei modelli di assegnazione del traffico. In un equilibrio dell’utente, tutti i percorsi effettivamente usati fra la stessa origine e la stessa destinazione hanno lo stesso tempo, e nessun percorso inutilizzato è più rapido. In parole quotidiane: nessuno può migliorare il proprio viaggio cambiando strada da solo.

Non significa che il tempo totale sia il più piccolo possibile. Significa soltanto che, date le scelte degli altri, ogni automobilista non ha una mossa individuale vantaggiosa. È un equilibrio simile a quelli studiati nella teoria dei giochi: stabile non vuol dire necessariamente efficiente.

Apriamo una strada gratuita

Ora colleghiamo A a B con un tratto così rapido da richiedere, nel modello, zero minuti. Il nuovo percorso S–A–B–T sembra imbattibile: all’inizio permette di usare i due tratti il cui tempo dipende dal traffico evitando quelli fissi da 45 minuti. Ogni guidatore ha una ragione per sceglierlo.

Ma le scelte si sommano. Quando tutti e 4.000 percorrono S–A e B–T, ciascuno di quei tratti richiede 40 minuti. La scorciatoia centrale resta gratuita, ma il viaggio completo dura 40 + 0 + 40 = 80 minuti.

Perché qualcuno non torna su una vecchia strada? Chi deviasse da solo lungo S–A–T troverebbe ancora molto affollato S–A: 40 minuti, ai quali aggiungerne 45. Totale 85. Lo stesso accadrebbe scegliendo S–B–T. Ottanta minuti sono peggiori dei 65 di prima, ma migliori degli 85 che il singolo otterrebbe cambiando percorso. Il nuovo assetto è quindi un equilibrio: nessuno vuole muoversi, eppure tutti stanno peggio.

La strada non è il problema

È importante non raccontare il paradosso come una condanna delle nuove infrastrutture. Nel nostro esempio un coordinatore che minimizzasse il tempo complessivo potrebbe usare anche il collegamento nuovo: 1.750 automobilisti sul percorso alto, 1.750 su quello basso e 500 su quello centrale.

In questa distribuzione, i due tratti variabili trasportano 2.250 persone e richiedono 22,5 minuti. Chi usa i percorsi esterni impiega 67,5 minuti; chi usa il centro ne impiega 45. Il totale è 258.750 minuti-persona, cioè una media di 64,6875 minuti: leggermente migliore dei 65 iniziali. Non è un equilibrio volontario, perché alcuni vorrebbero imitare chi viaggia più rapidamente. È un ottimo di sistema, non un equilibrio degli utenti.

La distinzione è il cuore della storia. Una risorsa in più amplia le possibilità, quindi non può peggiorare la soluzione migliore ottenibile da un pianificatore. Può però cambiare gli incentivi e condurre le scelte non coordinate verso un equilibrio peggiore.

Un modello, non una profezia automatica

Il calcolo usa ipotesi precise: domanda fissa, flussi stazionari, tempi noti, automobilisti che scelgono il percorso più rapido e singoli utenti abbastanza piccoli da non modificare da soli la congestione. Nel traffico reale entrano semafori, code che si propagano, incidenti, orari differenti, informazioni incomplete e persone che rinunciano al viaggio o cambiano mezzo.

Perciò non ogni nuova strada produce il paradosso, e chiuderne una non migliora automaticamente la circolazione. Il modello serve a mostrare una possibilità controintuitiva e a ricordare che una rete va valutata nel suo insieme. Capacità, pedaggi, informazioni e regole di instradamento possono modificare l’equilibrio. La matematica non sostituisce i dati sul campo: dice quali meccanismi cercare nei dati.

Prova anche tu

Disegnate la rete su un foglio e preparate 20 gettoni, ciascuno equivalente a 200 automobilisti. Su ogni tratto variabile scrivete “2 minuti per gettone”; sui due tratti fissi “45 minuti”; sul collegamento A–B “0”. Prima tenete chiusa la scorciatoia. Distribuite i gettoni fra i due percorsi e spostatene uno alla volta quando il suo tempo diminuisce. L’assetto stabile sarà 10 sopra e 10 sotto: 20 + 45 = 65 minuti.

Poi aprite A–B. Per ogni gettone calcolate il tempo del percorso che sta usando e quello che otterrebbe cambiando. Lasciate che si muova soltanto se migliora il proprio risultato, quindi ricalcolate i flussi. Il percorso centrale attirerà progressivamente i gettoni fino all’assetto da 80 minuti. Infine provate a imporre la distribuzione coordinata: circa 9 sopra, 9 sotto e 2 al centro è la versione intera più vicina al rapporto teorico 1.750–1.750–500.

L’esperimento non simula una città reale. Fa però toccare con mano la differenza fra una scelta localmente ragionevole e il risultato collettivo.

L’idea da portarsi via

Più possibilità non garantiscono un equilibrio migliore quando le decisioni di ciascuno cambiano le condizioni per tutti. Il paradosso di Braess è una lezione sulle reti, ma anche sugli incentivi: per capire un sistema non basta contare le sue risorse; bisogna osservare come le persone le useranno.

È un altro modo di scoprire la matematica dentro un oggetto quotidiano: una mappa stradale che, appena vi entrano le nostre scelte, si comporta come un gioco.

DALLA MIA BIBLIOTECA

Teoria dei giochi, John Nash. È il riferimento più vicino alla logica dell’articolo: l’equilibrio descrive una situazione dalla quale nessuno trae vantaggio deviando da solo, ma non coincide necessariamente con il miglior risultato collettivo.

Il libro dei paradossi, Nicholas Falletta. Utile per continuare ad allenare lo sguardo davanti a conclusioni che sembrano contraddire l’intuizione e che si sciolgono quando rendiamo esplicite le ipotesi. Quanti anni sono passati da quando l’ho comprato, avrò avuto meno di 15 anni…

Fonti e approfondimenti

Dietrich Braess, Anna Nagurney e Tina Wakolbinger, On a Paradox of Traffic Planning, Transportation Science 39(4), 446–450, 2005: traduzione inglese dell’articolo tedesco del 1968. John Glen Wardrop, Some Theoretical Aspects of Road Traffic Research, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 1(3), 325–362, 1952.

David Easley e Jon Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, capitolo 8: modelli di traffico su reti e teoria dei giochi.