Pierre Deligne, il matematico che ha unito geometria e aritmetica

Perché è importante

Pierre Deligne è uno dei matematici che meglio rappresentano l’idea moderna secondo cui discipline apparentemente lontane possono illuminarsi a vicenda.

Il suo risultato più celebre riguarda le congetture di Weil, un insieme di profondissime previsioni sul numero di soluzioni delle equazioni algebriche quando si lavora non sui numeri reali o complessi, ma su campi finiti.

Deligne completò questo programma dimostrando nel 1974 la parte più difficile, l’analogo della ipotesi di Riemann per le varietà algebriche su campi finiti. Il risultato mise in relazione aritmetica, geometria e coomologia con una precisione che fino a pochi decenni prima sarebbe sembrata sorprendente.

Ma ridurre Deligne alle congetture di Weil sarebbe ingiusto. I suoi lavori hanno lasciato tracce profonde nella teoria di Hodge, nella teoria delle rappresentazioni, nelle forme automorfe e nella geometria algebrica nel suo complesso.

La vita

Pierre Deligne nasce a Bruxelles nel 1944, poche settimane dopo la liberazione della città durante la Seconda guerra mondiale.

Il suo interesse per la matematica emerge molto presto. Da ragazzo legge i testi universitari del fratello maggiore e, a quattordici anni, un insegnante gli mette tra le mani niente meno che gli Éléments de Mathématique di Bourbaki. Deligne ricorderà quell’incontro come decisivo nella propria formazione matematica.

Studia all’Université libre de Bruxelles, dove entra in contatto con Jacques Tits, e consegue il dottorato nel 1968. Giovanissimo, inizia poi a frequentare l’Institut des Hautes Études Scientifiques, l’IHÉS, il centro francese dove in quegli anni Alexander Grothendieck sta rivoluzionando la geometria algebrica. Nel 1970, a soli ventisei anni, Deligne diventa professore permanente dell’IHÉS.

Rimarrà all’IHÉS fino al 1984, quando si trasferirà all’Institute for Advanced Study di Princeton, dove diventerà in seguito professore emerito.

Il contesto storico

Per capire Deligne bisogna partire da André Weil e Alexander Grothendieck.
Nel 1949 Weil formulò una serie di congetture riguardanti le varietà algebriche definite su campi finiti. Il punto di partenza può sembrare elementare: data un’equazione, quante soluzioni possiede se i valori possibili delle variabili appartengono a un insieme finito?
Ma Weil intuì che questi semplici conteggi nascondevano una struttura geometrica profondissima.
Negli anni successivi furono dimostrate diverse parti delle congetture. Grothendieck e la sua scuola costruirono inoltre buona parte del linguaggio necessario per affrontarle: schemi, coomologia étale, funzioni $L$, formalismi coomologici.
Deligne entrò dunque in una storia già avviata, ma fu lui a superare l’ostacolo decisivo. Nel 1974 pubblicò La conjecture de Weil I, dimostrando l’analogo dell’ipotesi di Riemann in questo nuovo contesto.

Le idee che hanno cambiato la matematica

1. Le congetture di Weil

Il contributo più celebre di Deligne è il completamento delle congetture di Weil.

Queste collegano il numero dei punti di una varietà su campi finiti con proprietà geometriche e topologiche dell’oggetto stesso.

L’idea è straordinaria: contare soluzioni di equazioni diventa un modo per leggere la geometria.

2. I pesi

Uno degli strumenti concettuali più importanti introdotti e sviluppati da Deligne è quello dei pesi.

In termini molto semplificati, i pesi permettono di organizzare le informazioni coomologiche e di controllare il comportamento degli autovalori dell’operatore di Frobenius.

Questa idea è diventata uno strumento fondamentale ben oltre il problema originario e ha avuto un ruolo importante anche nella teoria di Hodge.

3. Geometria e teoria dei numeri

Deligne ha contribuito in modo decisivo a mostrare che molti problemi aritmetici possono essere affrontati utilizzando strumenti geometrici.

Quello che a prima vista appare come un problema sui numeri può nascondere una varietà geometrica; studiando quella varietà con strumenti coomologici si possono ottenere informazioni aritmetiche che sarebbero quasi impossibili da vedere direttamente.

È uno dei grandi temi della matematica contemporanea.

La formula o il teorema simbolo

Per una varietà $X$ definita sul campo finito $\mathbb F_q$, indichiamo con$$N_n=\#X(\mathbb F_{q^n})$$il numero dei suoi punti definiti sul campo con $q^n$ elementi.

Si costruisce allora la funzione zeta:$$Z(X,t)= \exp\left( \sum_{n=1}^{\infty} N_n\frac{t^n}{n} \right).$$Le congetture di Weil prevedono che questa funzione abbia una struttura rigidissima.

Per una varietà liscia e proiettiva si può scrivere, schematicamente,$$Z(X,t)= \prod_{i=0}^{2d} P_i(t)^{(-1)^{i+1}},$$dove gli zeri dei polinomi $P_i$ sono legati alla coomologia della varietà.

La parte più profonda afferma che, se $\alpha$ è uno degli autovalori associati al grado coomologico $i$,$$|\alpha|=q^{i/2}.$$È questo l’analogo, nel mondo dei campi finiti, della ipotesi di Riemann.

Deligne ne diede la dimostrazione generale.

Un problema raccontato

Immaginiamo di prendere un’equazione molto semplice, per esempio$$x^2+y^2=1.$$Sui numeri reali descrive una circonferenza.

Ma supponiamo ora di lavorare modulo un numero primo $p$. Le possibili coordinate sono soltanto:$$0,1,\ldots,p-1.$$Possiamo allora domandarci:

quante coppie (x,y)(x,y) soddisfano l’equazione?

Poi possiamo ripetere lo stesso conteggio su campi sempre più grandi:$$\mathbb F_p,\qquad \mathbb F_{p^2},\qquad \mathbb F_{p^3},\ldots$$Otteniamo una successione di numeri:$$N_1,N_2,N_3,\ldots$$A prima vista sembrano semplicemente conteggi aritmetici.

Le congetture di Weil affermano invece che questa successione contiene informazioni sulla geometria profonda dell’oggetto definito dall’equazione.

È come se contando punti in universi finiti si potesse ricostruire la forma nascosta della figura.

Deligne riuscì a dimostrare che questa intuizione era corretta in una generalità sorprendente.

L’eredità

L’influenza di Deligne è difficile da confinare a un singolo settore.

La sua matematica attraversa:

• geometria algebrica;
• teoria dei numeri;
• forme automorfe;
• teoria delle rappresentazioni;
• teoria di Hodge;
• studio delle funzioni $L$.

Il suo lavoro ha anche mostrato quanto potente possa essere il metodo inaugurato da Grothendieck: non limitarsi a risolvere direttamente un problema, ma costruire prima il linguaggio e gli oggetti nei quali il problema diventa naturale.

È uno dei motivi per cui la matematica di Deligne continua a essere centrale nella ricerca contemporanea.

Curiosità

• A quattordici anni leggeva già testi di Bourbaki, dopo che un insegnante aveva riconosciuto il suo interesse eccezionale per la matematica.
• All’inizio pensava di diventare insegnante di scuola superiore; durante gli studi scoprì invece che era possibile fare della ricerca matematica una professione.
• Divenne professore permanente all’IHÉS nel 1970, a soli ventisei anni.
• Nel 2006 il Belgio gli conferì il titolo personale di visconte.
• Ha ricevuto sia la Medaglia Fields sia il Premio Abel, due dei più importanti riconoscimenti della matematica.

Cosa leggere

Per iniziare

The Work of Pierre Deligne – Timothy Gowers
Una presentazione accessibile del lavoro di Deligne pubblicata in occasione del Premio Abel. Il sito ufficiale del Premio Abel raccoglie anche introduzioni alle congetture di Weil, agli spazi di moduli e alla corrispondenza di Riemann–Hilbert.

Per la biografia

Pierre Deligne – Mathematical Autobiography

È particolarmente interessante perché Deligne racconta direttamente la propria formazione matematica, l’influenza dei suoi insegnanti e l’ambiente nel quale maturarono le sue idee.

Per approfondire

Pierre Deligne, La conjecture de Weil I, Publications Mathématiques de l’IHÉS, 43, 1974.

È il lavoro storico nel quale compare la dimostrazione che completò il programma delle congetture di Weil.

Pierre Deligne, Équations différentielles à points singuliers réguliers

Un altro testo importante per comprendere l’ampiezza del lavoro di Deligne, ben oltre le congetture di Weil.

In una frase

Pierre Deligne ha mostrato che contando soluzioni di equazioni in mondi finiti possiamo scoprire la geometria nascosta che le governa.

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